初中数学竞赛指导：分类解析二次根式问题

分类解析二次根式问题 在历年的数学竞赛中，与二次根式相关的题目占有很大的比重.求解这类问题的方法巧，思维新，如果按部就班的直接解答，往往运算过程繁琐，有时几乎不能做出来，如采用巧妙的方法解答，则过程简单且计算方便. 一、运用整体思想解题 对于形如 ，求一个代数式的值的问题，这样的形式的试题可用运用整体思想解题.把 转化成 ，再两边平方，可得 ，这样处理后就不存在无理数了，进而可以使用整体代入思想求解. 例1当 时，多项式 的值为 ( ) (A) (B) (C) (D) 解析 移项，得 ,两边平方，得 ,展开，得 ,所以 ,于是， = [来源:Zxxk.Com] = = = = = 选B. 二、运用拆项、裂项解题 对于形如 ，或者通过转化后形式是 的，可以通过拆项、裂项的方法 使运算量减小，从而解决分母多于两项的二次根式的化简与计算. 例2 计算: . 分析 此题若按常规方法计算，运算量比较大，因此，我们抓住题目特征，换一种角度去考虑，从题目形式上观察可利用 ，即运用拆分解题. 解析 原式= = = = = 三、运用构造方程的方法解题 对于根式当中有无穷多个根式时，通常考虑此法，会收到意想不到的效果. 例3 化简: 解析 本题设结果 ，通过两边平方即可得到一方程求解. .两边平方，得 ,即 解得 (不合舍去). . 四、运用因式分解解题 对于分母有三项或者以上的，可以考虑通过对分子进行因式分解，进而巧约分进行二次根 式的化简与运算. 例3 化简: . 解析 本题的关键是将分子中的8拆数配方因式分解，进而约分求得结果. 原式= = = = 五、运用设元的方法解题 对于几个大数(一般竞赛题中是年份)的乘积再加上一个常数这样的问题采用设元的方程会使运算简便. 例4 计算: .[来源:学科网ZXXK] 分析 本题可以其中一个年份为 ，则其它年份可以用 的代数式表示.[来源:Zxxk.Com] 解析 设 ，则 , , , 原式= = = = = = = 六、运用平方法解题 对于根号中含有共轭根式的和或差的题目采用先平方，再开方的方法解题. 例