中考数学复习指导：平行四边形与面积的不解之缘

平行四边形与面积的不解之缘 平行四边形作为一类特殊的四边形在平面几何中占据着举足轻重的地位，人们烂熟、并善用其边、角、对角线的各种性质，殊不知平行四边形与面积也有着十分亲密的联系，下面就随笔者去欣赏一番. 一、平行四边形的一条对角线把平行四边形分为两个面积相等的三角形 例1 如图1, 中，过对角线 上一点 作 // , // .图中哪两个平行四边形面积相等?为什么? 简析 ∵由结论知， , , ∴ [来源:Z,xx,k.Com] ∴ ∴ 同理可得 . 即图中共有三对面积相等的平行四边形，它们分别为 与 、 与 、 与 面积相等. 二、平行四边形的两条对角线把平行四边形分为四个面积相等的三角形. 例2 (2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第一试)如图2，平行四边形 的面积是4, 和 分别是 和 的中点. 与 交于点 与 交于点 .则四边形 的面积是 . 简析 如图2，连接 ，易证四边形 和四边形 均为平行四边形，则由结论得 所以 四边形 的面积. 三、连接平行四边形边上一点与其对边的两顶点, 把平行四边形分为三个三角形.则两边的两个三角形面积之和等于中间的一个三角形的面积, 均等于平行四边形面积的一半.即如图3有: . 证明非常简单，这里从略. 例3 (2011年第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试)如图4, 都是平行四边形，且 是 的中点，点 在 上，点 在 上. 的面积依次记为 ，则( ). A. B. C. D. 与 大小关系不确定. 简析 由结论知 .根据等底等高的三角形面积相等可知 ，故选C. 四、平行四边形内一点与四个顶点连接，把平行四边形分为四个三角形，相对的两个三角形的面积和相等且等于平行四边形面积的一半.即如图5中有: 成立.证明比较简单.这里从略. 例4 如图6,以 的三边为一边，在 的同侧分别作 , , ，且点 共线，点 共线.求证: . [来源:学.科.网Z.X.X.K] 证明 如图6,连接 、 ，由结论三可得: , .根据结论四 得 ,所以[来源:学.科.网Z.X.X.