中考数学复习指导：例析一次函数图象截出的等腰三角形问题

例析一次函数图象截出的等腰三角形问题 当一次函数图象与坐标轴围成的三角形是一个等腰直角三角形时，这个特殊的三角形能给我们解题带来许多的精彩. 例1 如图1，直线 与两坐标轴分别相交于 、 两点，点 是线段 上任意一点( 、 两点除外)，过点 分别作 于点 ， 于点 . (1)当点 在 上运动时，你认为四边形 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点 运动到什么位置时，四边形 的面积有最大值?最大值是多少? (3)如图2,3当四边形 为正方形时，将四边形 沿着 轴的正方向移动，设平移的距离为 ，正方形 与 重叠部分的面积为 .试求 与 的函数关系式，并画出该函数的图象. 分析 第(1)问，要想确定四边形的周长在点的运动过程是如何变化的，首先要解决的问题就是结合图形表示出四边形的周长.根据矩形的性质，已知这里四边形的周长是 ，四边形周长的变化规律就取决于线段和 的变化规律.结合题目条 件，我们会有两种基本的思路:一是坐标法表示线段，线段 的长恰好是点 的横坐标的绝对值， 的长恰好是点 的纵坐标的绝对值，这是这一方法的精髓;二是转化线段和法，根据条件知道 是一个等腰直角三角形，且腰 ，因此 ，所以[来源:学科网ZXXK] 线段 就转化成了 ，从而也能将所求问题化解. 第(2)问，在探求周长的基础上，进一步探求四边形的面积变化规律.借鉴第(1)问的 思路，解题的关键是先表示出四边形的面积，即 ，利用坐标法就可以将四边形的面积问题转化成二次函数的问题，最值自然就可以确定. 第(3)问，解答时体现两种数学思想的灵活应用:一是数形结合的思想，初步判定重合部分图形的形状，确定面积的分割法表示;二是分类的思想，抓住 的变化规律，立足正方形成立的条件，给出 的正确分类也是解题的重要因素. 解 (1)因为直线 与两坐标轴分别相交于 、 两点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 .所以 , ，所以 是等腰直角三角形.因为 ， ，所以四边形 是矩形，且 是等腰直角三角形，所以 .因为矩形 的周长为 ，所以四边形 的周长是定值，且为8; (2)设四边形 的面积为 ，根据题意，得 所以四边形 的面积是关于点 的横坐标 的二次函数，并且当 ，即当点 运动到线段 的中点时，四边形 的面积最大且最大面积为 ; (3)设两