中考数学复习指导：例谈数形结合在初中数学解题中的应用

例谈数形结合在初中数学解题中的应用 数学家华罗庚说过:“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞;数无形时少直觉，形少数时难入微.”初中数学思想方法中的数形结合思想是一种很重要的方法，利用这种方法，可以实现代数问题与几何问题的相互转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化。本文举例说明运用数形结合思想解决数学问题可以达到事半功倍的效果。 一以“数”解“形” 例1 如图，过正方形 的顶点 ， 任作一直线与 、 的延长线分别交于 、 。求证: 。 证明 设正方形的边长为 ，连 。 因为 ，所以有 ， 即 。从而 、 可视为关于 的一元二次方程 的两个实数根。所以该方程的判别式 ，得 ，即 。 本例是“形”的问题，但直接从“形”入手较难解决，若将“形”转化为“数” ，则结论变为 。则可联想起一元二次方程根的判别式，从而把它转化为“数”的问题来解决。 例2 如图，直线 与 轴 交于点 ，与双曲线 在第一象限交于 、 两点，且 ，则 = 。 解 设 ，则 、 是方程 的两根， 。又 。 此题将反比例函数图象与直线相结合，利用直线解析式，先算出 然后联立直线与双曲线的解析式，得到关于 的一个一元二次方程，再利用根与系数的关系，求出 的值。用代数的知识解决几何问题，体现了数形结合的思想。 一、以“形”解“数” 例3 不等式 的解集是 。 解 从数轴上看，-2到3的距离是5，所以 不能在-2和3之间(包括-2和3), 只能在-2的左侧或3的右侧，不等式才能成立，故原不等式的解集是 >3或 <-2。 [来源:Z&xx&k.Com] 例4 已知: >0, >0，且 ，求 的最小值。[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解 如图，作线段 垂直于 ， 使 ，过 作 [来源:学科网ZXXK] 垂直于 ， = 1，由勾股定理可得: ，原题 也就是求 的最小值了。 当 在线段 上时， 有 最小值，就是线段 的长度。 过点 作 的垂线，与线段 的延长线交于点 。 在直角三角形 中， ， ，于是用勾股定理就很容易求得斜边 ，即 的最小值为5。 点评 此题由式子联想到两点之间直线最短以及勾股定理，构造几何图形，问题就迎刃而解了。 例5 在实数范围内，方程