中考数学复习指导：例说换元法在初中数学中的应用

例说换元法在初中数学中的应用 利用换元法解题，具有极大的灵活性。关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简驭繁，化难为易的目的。在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。要在解题的实践中，不断摸索规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。 下面举例说明换元法在初中数学中应用。 一、用换元法分解因式 例1 把 分解因式。 本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于 的四次式，分解起来比较困难。认真观察题目的结构，可以发现 EMBED Equation.DSMT4 ，它们的二次项、一次项完全相同，这就具备了换元的 条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易 行。在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设 ，或设 等，一般地，设 等于 和 的算术平均式比较简捷。 解 设 ，则 [来源:学科网] 原式= = = 总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换元法来解决问题。 二、换元法在解方程中作用[来源:学。科。网] 掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。 例2 解下列方程:① 解 原方程变形为 。 设 ，原方程形变为 。 解这个方程，得 。[来源:Z+xx+k.Com][来源:Zxxk.Com] 当 时， , ； 当 时， ， 。 所以原方程有四个根: ， 。 ② 解析 整理原方程得: 。设 ，那么 ，原方程变为 。 解这个方程，得 ，当 时， ，根据算术根的定义， 无解。当 时， ，两边平方，整理得 。解这个方程，得 。检验，把 分别代入原方程都适合，因此，它们都是原方程的根。 原方程的根是 。 三、证明题利用换元法十分简捷 例3 试证明关于 的方程 的根一个比 大，一个比 小。 分析 本题的一般证明方法是求出两个实数根，再证明有一根大于 ，另一根小于 。认真观察题目的结构，可以变形为 ，可以实施换元。即要证一根比 大，一根比 小，可以转化为证明 。本题还可以借助于函数思想，利用换元法得到十分简捷的证明。 证法一 设 ，原方程变形为 ①[来源:学#科#网Z#X#X#K]