中考数学复习指导：利用线段长度的不同表示方式解题

利用线段长度的不同表示方式解题 设 EMBED Equation.DSMT4 ，则 、 两点之间的线段长度一般为: 当两点的横坐标相同时， ; 当两点的纵坐标相同时， . 线段长度的不同表示方式可以简化解题过程，使问题变得简单而清晰，并轻松做到不重不漏. 一、简化分类讨论 例1 如图1，已知直线 分别交 轴， 轴于点 、 ， 是抛物线 上一个动点，其横坐标是 ，过点 且平行与 轴的直线交直线 于点 ，则 时， 的值是 . 分析 点 在抛物线上的位置不同，会使得点 出现在点 的上方或下方，以抛物线与直线的交点为分界，常规的思维方式是先求交点坐标，再根据点 横坐标的不同取值进行分类讨论，但是这样的过程比较复杂，而且求得数据不易比较大小.换一种方式思考:只要线段 的长度与 相等，点 的位置并不重要，由此可以将问题简化，只要求线段长度相等即可. 解 点 横坐标为 ，得 ，由已知得 ，根据两点间的距离，得 ， . 当 时，得 ， 即 ， 解方程 ， 得 ； 解方程 ， 得 或 . 所以 的值是 . 评注 本题如果根据不同的取值范围来确定解的存在性就比较麻烦，而利用绝对值表示两横坐标相等的点以后，求解绝对值方程就可以简化比较和讨论的过程. 二、做到不重不漏 例2 已知在平面直角坐标系 中， 是坐标原点，以 (1,1)为圆心的⊙ 与 轴， 轴分别相切于点 和点 ，点 从点 出发，沿 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结 交 轴于点 ，设点 运动的时间是 秒( >0). (1)若点 在 轴的负半轴上(如图所示)，求证: ; (2)在点 运动过程中，设 ，试用含 的代数式表示 ； (3)作点 关于点 的对称点 ;经过 、 和 三点的抛物线的对称轴交 轴于点[来源:学&科&网] ，连结 .在点 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点 、 、 为顶点的三角形与以点 、 、 为顶点的三角形相似?若存在，请直接写出 的值;若不存在，请说明理由. 分析 (1)利用同角的余角相等，半径相等得到直角三角形的全等; (2)根据(1)得到的全等三角形可知 .由于 的长度可能比1小，所以点 可能在正半轴也可能在负半轴，但线段长度只与两点间的距离