中考数学复习指导：对一道中考填空题的解法探析

对一道中考填空题的解法探析 中考试卷中的一道填空题，看似简单，但却是简约而不简单，它可从不同角度思考，添加不同的辅助线，从而使解法多姿多彩. 一、试题呈现 已知:如图1, 、 分别是 的中线和角平分线， ，则 的长等于 . 此题是以三角形为背景，中线、角平分线为依托，综合考查了中线性质、角平分线性质、等腰三角形等重要知识点，以及构造相似三角形、全等三角形、特殊四边形等解决问题的能力，综合性较强.本文整理、归纳了几种不同的解法，供大家参考. 二、解法探析 本题属于一道中档填空题，具有一定的难度，思维含量较高.根据题意，解答时可从中点的角度入手，联想到中线倍长法、构造中位线等，由垂直可构造平行线或特殊四边形等，从不同的角度思考、分析，可以探索出多种解题的思路，现列举如下. 1.从添一条辅助线入手 思路1 利用中点的特殊条件，构造新三角形求得 的长. 如图2，注意到点 是 的中点，所以过点 作 // 交 于 点.由题惫知， 是 的中点，进而易知 、 是 的三等分点，且 ，所以 ，所以 .当然，过点 作 // 交 于 点(如图3)，也是一种通法，留给读者思考. 思路2 利用内角平分线的性质，再运用面积算两次可求得 的长. 如图4，注意到 是角平分线，又 ，所以 .由内角平分线性质，可得 .由条件易得 ，所以 ，所以 ，所以 .又 ，进而求得 ，由勾股定理可得 ，所以 . 说明 上述两种解题思路，都是根据条件中有些特殊的点(如中点)、有些特殊的位置(如 垂直)等进行添辅助线.思路1侧重于构造“A字型”的方法;思路2侧重于构造三角形全等及面积相等的方法，然后通过线段间的数量关系求得答案. 2.从添两条辅助线入手 思路3 利用中点的特殊条件，构造A或8字型可求得 的长. 如图5，注意到点 是 的中点，所以过点 作 // 交 的延长线于 点.由题意易得 ，由思路2知， ，所以 ,进而求得 .当然，过点 作 交 的延长线于 点(如图6)，也是一种常用的方法，留给读者思考. 说明 此解题思路关注到点 是 的中点，构造三角形全等或中位线，巧妙地得到与 相关的直角三角形求解. 思路4 利用平行线截得的线段成比例、构造平行