中考数学复习指导：对三角形内接矩形问题的探究

对三角形内接矩形问题的探究 题目 一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22. 5 cm.现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图1所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) (A)第4张 (B)第5张 (C)第6张 (D)第7张 分析 根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得结果. 解 已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3, 所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为 ， 则3 ，解得 ， 所以另一段长为22. 5－4. 5=18. 因为18÷3=6，所以是第6张. 点评 本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用. 以原题为基础，稍作改变，可进行逐级延伸与拓展. 引申 如图2，在 中， .四边形 为 的内接正方形，求正方形的边长. 解析 作 ，再根据 ，可知 ∽ ，由平行得到两对同位角相等，进而得到两三角形相似，根据相似三角形的性质列出关于 的方程，即可求出正方形的边长.在图2中作 ，交 于点 ,交 于点 . 在 中， EMBED Equation.DSMT4 . ∽ ， . 设正方形边长为 , 则 . 变式1 如图4 , 内有并排的两个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于 ，求正方形的边长. 解析 在图5中作 ，交 于点 ，交 于点 . ∽ , . 设每个正方形边长为 , . 变式2 如图6 , 内有并排的三个相等的正方形，且它们组成的矩形内接于 ，求正方形的边长. 解析 作 ，交 于点 ，交 于点 ，易知， ∽ ;根据对应边的比等于相似比，同理可求出正方形的边长为: 变式3 如图7，按前面的规律，当有n个相等的正方形时，探求正方形的边长. 解析 设每个正方形的边长为 ，同理 得: ，则 . 变式4 如图8，直角 中，从左向右 依次作正方形 、 、 ，若 、 的边长分别为 、 ，请你用含 、 代数式表示 的边长. 解 如图9所示， 根据条件可以得到 ∽ , . 而 , , 正方形 的边长是 . 评注 一题多变，是基于“原题