中考数学教学指导：巧用“一举四得”突破中考题

巧用“一举四得”突破中考题 已知：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC(或D是BC的中点)． 结论 (1)∠B＝∠C＝45°； (2)∠BAD＝∠CAD＝45°； (3)BD＝CD(或AD⊥BC)； (4)AD＝BD＝CD＝BC． 这是一个非常经典的基本图形，由这个图形得到了四个结论，为方便记忆和叙述，这里称它为“一举四得”基本图形（证明略）．纵观近几年中考数学试题，可以发现与此“一举四得”基本图形有关的试题不少，题目形式往往是把这个基本图形融合到一个综合题中，因此看起来比较复杂，往往使许多同学想不到以上四个结论，而导致思路受阻．实际上，若牢记上述基本图形及其四个结论，则往往能迅速找到解决这些问题的突破口．以下以若干中考试题为例加以说明． 例1.(1)问题发现 如图2．△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE． 填空：①∠AEB的度数为____； ②线段AD，BE之间的数量关系为_______． (2)拓展探究 如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形．∠ACB＝∠DCE＝90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连结BE．请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． (3)解决问题 如图4，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离． 分析 (1)略； (2)易证△ADC△△BEC， ∴∠ADC＝∠BEC． 利用“一举四得”基本图形，易得 ∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝90°． 由△ADC△≌△BEC，∴AD＝BE， ∴AE＝AD＋DE＝BE＋DE． 利用“一举四得”基本图形，易得 DE＝2CM． ∴AE＝BE＋2CM． (3)略， 例2.已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°．D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于点E、F． (1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于点E时（如图5），