中考数学教学指导：二次函数与存在性问题

二次函数与存在性问题 一、与等腰三角形、直角三角形相关 【例1】 如图，在梯形 中， ， ， ， ，梯形的高为 ．动点 从 点出发沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 （秒）． （1）当 时，求 的值； （2）试探究： 为何值时， 为等腰三角形． 【例2】 如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的边 在 轴的正半轴上， 在 轴的正半轴上， ， ，点 在边 上且 ．[来源:学科网] （1）求直线 的解析式． （2）在 轴上是否存在点 ，直线 与矩形对角线 交于点 ，使得 为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线 经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点 和点 （点 在 轴正半轴上），且 沿 折叠后点 落在边 上 处？ 【例3】 如图，已知抛物线 ： 的顶点为 ，与 轴相交于 两点（点 在点 的左边），点 的横坐标是 ． （1）求 点坐标及 的值； （2）如图1，抛物线 与抛物线 关于 轴对称，将抛物线 向左平移，平移后的抛物线记为 ， 的顶点为 ，当点 关于点 成中心对称时，求 的解析式 ； （3）如图2，点 是 轴负半轴上一动点，将抛物线 绕点 旋转 后得到抛物线 ．抛物线 的顶点为 ，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点 的坐标． 【例4】 在平面直角坐标系 中，A、B为反比例函数 EMBED Equation.DSMT4 的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将 EMBED Equation.DSMT4 的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为 ，B点的对应点为 ． （1）求旋转后的图象解析式； （2）求 、 点的坐标； （3）连结 ．动点 从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为 秒，试探究：是否存在使 为等腰直角三角形的 值，若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． [来源:学+科+网] 【例5】 已知抛物线 与 轴相交于点 ， EMBED Equation.DSMT4 ，且 是方程 的两个实数根