中考数学教学指导：二次函数与最短路程问题

二次函数与路径最值问题 一、二次函数与方程、不等式综合 【例1】 已知P（ ）和Q（1， ）是抛物线 上的两点． （1）求 的值； （2）判断关于 的一元二次方程 =0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由； （3）将抛物线 的图象向上平移 （ 是正整数）个单位，使平移后的图象与 轴无交点，求 的最小值． 【例2】 已知抛物线 ： 的图象如图所示，把 的图象沿 轴翻折，得到抛物线 的图象，抛物线 与抛物线 的图象合称图象 ．[来源:学|科|网Z|X|X|K] （1）求抛物线 的顶点 坐标，并画出抛物线 的图象； （2）若直线 与抛物线 有且只有一个交点时,称直线与抛物线相切.若直线 与抛物线C1相切，求 的值； （3）结合图象回答，当直线 与图象 有两个交点时， 的取值范围． 【例3】 关于 的一元二次方程 有实数根，且 为正整数. （1）求 的值； （2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系 中,抛物线 与 轴交于 、 两点（ 在 左侧），与 轴交于点 . 点 为对称轴上一点，且四边形 为直角梯形，求 的长；[来源:学科网] （3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点 的坐标为 ,当抛物线与（2）中的直角梯形 只有两个交点，且一个交点在 边上时，直接写出 的取值范围. 【例4】 关于 的一元二次方程 . （1）当 为何值时，方程有两个不相等的实数根； （2）点 是抛物线 上的点，求抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若点 与点 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由. [来源:Zxxk.Com] 【例5】 已知关于 的一元二次方程 ．[来源:学科网ZXXK] （1）求证：不论 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）若直线 与函数 的图象 的一个交点的横坐标为2，求关于 的一元二次方程 的解． （3）在（2）的条件下，将抛物线 绕原点旋转 ，得到图象 ，点 为 轴上的一个动点，过点 作 轴的垂线，分别与图象 、 交于 两点，当线段 的长度最小时，求点 的坐标． 【例6】 已知关于 的一元二次方程 （1）求证：当 时，方程 一定有两个不等的实数根； （2）若代数式 的值为正整数，且 为整数时，求 的值； （3）当 时，抛物线 与 轴的正半轴相交于点 ；