中考数学教学指导：解析一类图形关系的存在性问题

解析一类图形关系的存在性问题 图形关系的存在性问题也是近年各地中考的一个热点，本文例举历年中考试题中的此类问题进行分类解析，旨在探索解题规律，以期对读者有所启发． 一、与相似三角形有关的存在性 例1 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点0(0，0)、A(2，0)、B(6，3)． (1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； (2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1，设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；[来源:学科网ZXXK] (3)在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线，AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 分析 第(2)题用含S的代数式表示x2 －x1，反其道而行之，用x1，x2表示S．再由平移过程中梯形的高不变，即y2－y1＝3，通过代数变形即可，第(3)题最大的障碍在于分析画图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系．因此，需要先假设，再说理计算，后验证．其不变关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变，变化的是直线PQ的斜率．因此，可以假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或假设直线PQ与AB的交点G在x轴的上方，从而作出相应图形． 解 (1)对称轴：直线x＝1， 解析式：y＝ ， 顶点坐标：M(1，－ ) (2)由题意，得： 得： 把②代入①并整理得 (3)易知直线AB的解析式为y＝ x－ ，可得直线AB与对称轴的交点E的坐标为（1，－ ） ∴BD＝5，DE＝ ， DP＝5－t，DQ＝t， 当PQ∥AB时， ， ，得 ． 设直线PQ与直线AB、x轴的交