2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第二章 2．3　抛物线

2.3抛_物_线 2．3.1　抛物线的标准方程 抛物线的定义 如图，把一根直尺固定在图板内直线l的位置，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘．再把一条绳子的一端固定于三角板的另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样铅笔描出一条曲线． 问题1：笔尖(设为动点M)在运动过程中满足的条件是什么？ 提示：|MC|＝|MF|. 问题2：|MC|是点M到直线l的距离吗？ 提示：因为AC⊥l，所以|MC|是M到l的距离． 问题3：此曲线是否为椭圆或一支双曲线？如果不是，猜想它是什么？ 提示：不是椭圆，也不是一支双曲线，而是抛物线． 平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线. 抛物线的标准方程 在平面直角坐标系中，有以下点和直线A(1,0)，B(－1，0)，C(0,1)，D(0，－1)；l1：x＝－1，l2：x＝1，l3：y＝－1，l4：y＝1. 问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝4x. 问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y2＝－4x. 问题3：到定点C和定直线l3、到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程分别是什么？ 提示：x2＝4y，x2＝－4y. 抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F，即抛物线的焦点；一条定直线l，即为抛物线的准线；一个定值，即点M与点F的距离和M到l的距离之比等于1.定点F不能在直线上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线． 2．抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标准方程形式，规律是：焦点决定于一次项，开口决定于正负号，即标准方程中，如果含的是x的一次项，则焦点就在x轴上，并且焦点的横坐标为)，如果含的是y的一次项，有类似的结论． (或x＝，相应的准线是x＝－