2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第二章 2．4　直线与圆锥曲线

2．4直线与圆锥曲线 问题1：直线与椭圆的位置关系有几种？ 提示：三种，相交、相切、相离． 问题2：直线与圆锥曲线只有一个公共点时，即称直线与圆锥曲线相切，这种说法正确吗？ 提示：不正确．当直线平行于抛物线的对称轴时，与抛物线只有一个公共点，直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线也只有一个公共点．但这时直线与抛物线、双曲线相交． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断．设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0. 由消元， 如消去y后得ax2＋bx＋c＝0. ①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)． ②若a≠0，设Δ＝b2－4ac. (ⅰ)Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； (ⅱ)Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点； (ⅲ)Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2．圆锥曲线的弦 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦，线段的长就是弦长，简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 1．直线与椭圆有三种位置关系，类似地，直线和双曲线、抛物线也有三种位置关系，即相交、相切和相离，但要注意相交时可能只有一个公共点． 2．解决直线与圆锥曲线的位置关系，一般是联立直线方程和圆锥曲线方程组成方程组，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的公共点的个数，从而确定位置关系． 直线与圆锥曲线的位置关系 [例1]　m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆＋y2＝1相交、相切、相离？ [思路点拨]　根据方程组的解的个数判断位置关系． [精解详析]　由 得＋(x＋m)2＝1， 整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0， ③ 此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m)2－4×5(4m2－4)＝16(5－m2)． 当－时，Δ>0， <m< 方程③有两个不同的实数根，可得原方程组有两组不同的实数解，此时直线与椭圆相交． 当m＝－时，Δ＝0， 或m＝ 方程③有两个相等的实数根，可得原方程组有两组相同的实数解，此时直线与椭圆相切． 当m<－时，Δ<0，