2017-2018学年高中数学（人教B版）选修1-1 名师讲义： 第三章 3．3 导数的应用

_3.3导数的应用 3．3.1　利用导数判断函数的单调性 我们知道正弦曲线是上、下起伏的波浪线，实际上多数函数的图像都是如此，它们的单调性交替变化．有些函数的单调性通过我们所学的基本方法能够判断，多数函数非常困难甚至无法解决． 问题1：如果一条曲线是逐渐上升的，那么曲线上各点的切线的斜率有何特点？ 提示：从直观上看切线是上升的，切线的斜率都为正数． 问题2：切线斜率的正负，能说明导数的符号吗？ 提示：根据导数的几何意义，切线斜率的符号就是导数的符号． 问题3：可以用导数来研究较为复杂的函数的单调性吗？ 提示：可以． 设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1)如果在(a，b)内f′(x)>0，则f(x)在此区间是增函数； (2)如果在(a，b)内，f′(x)<0，则f(x)在此区间是减函数． 1．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．如果出现个别点使f′(x)＝0，不会影响函数f(x)在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如函数f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，但由f′(x)＝3x2知，f′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f′(x)>0. 2．如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)是常函数，不具有单调性． 判断函数的单调性 [例1]　判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性． [思路点拨]　→→ [精解详析]　∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时， y′＝0，函数在R上不具备单调性． [一点通]　判断函数单调性的方法有两种： (1)利用函数单调性的定义，在定义域内任取x1，x2，且x1<x2，通过判断f(x1)－f(x2)的符号确定函数的单调性； (2)利用导数判断可导函数f(x)在(a，b)内的单调性，步骤是：①求f′(x)；②确定f′(x)在(a，b)内的符号；③得出结论． 1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　) A．f(x)＝sin x　　　　　　　　　 B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝ln x－x 解析：∵x>0，∴(x·ex)′＝x′·ex＋x·(ex)′ ＝ex＋