2017-2018学年苏教版高中数学选修1-2课堂导学案第2章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.2间接证明

2.2.2 间接证明 课堂导学 三点剖析 各个击破 一、证明数学中的基础命题宜用反证法 【例1】求证:质数有无穷多. 证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下: p1,p2,…,pk,令q=p1p2…pk+1. q总是有质因数的,但我们可证明任何一个pi(1≤i≤k)都除不尽q.假若不然,由pi除尽q,及pi除尽p1,p2,…pk,可得到pi除尽(q-p1p2…pk),即pi除尽1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽q.这说明q有不同于p1,p2,…,pk的质因数.这与只有p1,p2,…,pk是全体质数的假定相矛盾. 所以质数有无穷多. 温馨提示 用反证法证明结论是B的命题,其思路是:假定B不成立,则B的反面成立,然后从B的反面成立的假定出发,利用一些公理\,定理\,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设B不成立”是错误的.则B成立. 类题演练1 证明:1,,2不能为同一等差数列的三项. 证明：假设1，，2为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d， 则1=-md,2=+nd， 其中m,n为某两个正整数，由上面两式消去d，得 2m+n=(m+n) , 因为n+2m为有理数，而（m+n）为无理数，所以n+2m≠(n+m) , 因此假设不成立，即1，，2不能为同一等差数列的三项. 变式提升　1 a、b是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点. 证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点. 二、某些数学问题的证明可用反证法 【例2】 已知a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于. 证法一:假设三同时大于,即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,三相乘, 得:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c＞.又(1-a)a≤()2=. 同理,(1-b)b≤,(1-c)c≤. 以上三相乘得 (1-a)a(1-b)b(1-c)c≤,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞矛盾,故结论得证. 证法二:假设三同时大于. ∵0＜a＜1, ∴1-a＞0. . 同理,. 三相加得矛盾, ∴原命题成立. 温馨提示 要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的