广东省中山市中山一中自主学习导学案：人教A版选修2-1《2.4.1抛物线及其标准方程》

§2.4.1抛物线及其标准方程（学生版，后附教师版） 1．新课引入 我们知道，椭圆、双曲线有共同的几何特征：在平面内与一个定点的距离和一条定直线（其中定点不在定直线上）的距离的比是常数e的点的轨迹． （1）当0<e<1时，是椭圆； （2）当e＞1时，是双曲线； （3）那么，当e=1时，它又是什么曲线？ 利用几何画板作图，其轨迹为一条抛物线． 2．新课讲解 在平面内，与一个定点F和一条定直线 ( 不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫抛物线． 点F叫抛物线的焦点，直线 叫抛物线的准线， 为 M 到 l 的距离，即：若 ，则点 的轨迹是抛物线． 那么如何建立坐标系，使抛物线的方程更简单，其标准方程形式怎样? 以过F且垂直于 l 的直线为x轴，垂足为K．以F，K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy． 设 ， ，则焦点 ，准线 ． 依题意得 ， 两边平方，整理得 ． 把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程．其中 p 为正常数，表示焦点在 x 轴正半轴上． 强调：抛物线标准方程 的特点： （1）方程左边是纵坐标 的平方项且系数为1，右边是横坐标 的一次项且系数为 ； （2）因为方程右边是横坐标 的一次项，所以焦点在 轴上； （3）因为方程右边横坐标 的一次项系数 是正数，所以焦点在 轴的正半轴上，且坐标为 ，准线方程为 ． （4） 的几何意义：焦点 到准线 的距离． 同一条抛物线的标准方程的四种形式对比 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 （ ，0） 方程的特点: （1）左边是二次式； （2）右边是一次式，决定了焦点的位置： ①变量是哪个，焦点就在什么轴； ②进一步看该变量的系数,若为正,则焦点在正半轴；若为负,则焦点在负半轴． 3．思考与探究 二次函数 的图象为什么是抛物线？ ， ， 当 与 时，结论都为：焦点 ，准线 ． ※ 典型例题 考点1．求抛物线的标准方程 【例1】（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程． （2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程． （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程． （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程． 考点2．抛物线定义的直接应用 【