广东省中山市中山一中自主学习导学案：人教A版选修2-1《2.3.2双曲线的简单几何性质》

§2.2.2双曲线的简单几何性质（学生版） 1．双曲线的图形性质 定义 图象 方程 焦点 、 、 的关系 下面研究焦点在 轴上的双曲线C： 的性质： （1）顶点：双曲线和坐标轴的交点叫做双曲线的顶点， 、 ． （2） 为椭圆的焦距， 为椭圆的半焦距，并且 ． （3）线段A1A2叫做双曲线的实轴，长为 ， 叫做双曲线的实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，长为 ， 叫做双曲线的虚半轴长． （4）实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线， ． （5）范围：由方程可知， ，解得 或 ． （6）对称性：从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称，原点是椭圆的中心． 2．双曲线的渐近线与离心率 双曲线的张口有大有小，跟哪些量有关呢？ （1）渐近线：双曲线的 的渐近线为： ．特别的，等轴双曲线的渐近线为： ． 双曲线的会沿着渐近线向外延伸，但始终都不会超过渐近线，利用此性质可以较准确的画出双曲线的草图． 由图可知，双曲线的张口由两条渐近线的形成的角的大小决定．双曲线的形状与两个量有关：焦距 和到两个焦点的距离和 ． （2）定义：双曲线的焦距与实轴长的比 叫做双曲线的离心率． 由e与a，b的关系： ，可知： （1）e>1； （2）离心率e越大，渐近线的斜率 越大，双曲线的开口也越大； （3）特别的，等轴双曲线的离心率 ． 3．直线与双曲线的的位置关系 直线与双曲线的位置关系的判定 位置关系 相离 相切 相交 图象 交点个数 0 1 1个或2个 由方程组 ，得 若 与渐近线重合，无交点 与渐近线平行， 有一个交点 若 ，无解 ，有一解 ，有两解 ※ 典型例题 考点1．双曲线图形性质的直接应用 【例1】求双曲线 的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，离心率，渐近线方程． 变式1．求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点的坐标、离心率． （1） （2） （3） （4） 考点2．利用几何性质求双曲线的方程 【例2】求下列双曲线的标准方程： （1）双曲线的顶点间距离是16，离心率为 ，焦点在x轴上，中心在原点； （2）双曲线 有共同渐近线，且过点 ； （3）双曲线 有公共焦点，且过点 ． 【方法归纳】1．与 共渐近线的双曲线系方程为 ，λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；λ<0表