广东省中山市中山一中自主学习导学案：人教A版选修2-1《2.3.1双曲线及其标准方程》

§2.3.1 双曲线及其标准方程（学生版） 1．新课引入 探究1：平面内与两个定点 、 的距离的和等于非零常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆． 思考平面内这平面内与两个定点 、 的距离的差等于非零常数的点的轨迹又是什么曲线？ 满足这样条件的曲线：点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a， =2 ， 2．新课讲解 我们把平面上到两个定点的距离的和等平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 ）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 数学简记： （ ） 思考1：双曲线定义中的条件“非零常数 (小于 )”去掉后，点的轨迹有是什么曲线呢？ 当 时，轨迹是线段 的垂直平分线； 当 时，轨迹是双曲线； 当 时，轨迹是以 、 为端点的反向的两条射线； 当 时， 轨迹不存在． 思考2：双曲线定义中的关键词“绝对值”能否去掉，去掉后结果怎样？ 定义中“差的绝对值”中“绝对值”去掉，点的轨迹为双曲线的一支．当 时，曲线仅表示与焦点 所对应的一支； 时，曲线仅表示与焦点 所对应的一支． 思考3：类比椭圆标准方程的建立及推导过程，试推导双曲线的标准方程？ 第一步：建立直角坐标系；以两定点 、 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴建立坐标系． 第二步：设点：设动点 是双曲线上任意一点，设 ，则 ， ，又设 与 、 的距离的差的绝对值等于 ． 第三步：M点的轨迹构成的点集： ； 第四步：建立方程： 第五步： ， ， ， ， 由 ，两边同除以 ，得 ， 令 （ ），即： 我们得到了焦点在x轴上，且焦点是 和 的双曲线标准方程为： ，这里 ． 以 所在的直线为 轴， 的中垂线为 轴建系，那么得到焦点在y轴上即 ， 为焦点的双曲线标准方程为： （其中 ， ， ）． 【思考】椭圆与双曲线标准方程的区别？ 名 称 椭圆 双曲线 图象 定义 平面内到两定点 的距离的和为常数（大于 ）的动点的轨迹叫椭圆． 即 平面内到两定点 的距离的差的绝对值为常数（小于 ）的动点的轨迹叫双曲线． 即 标准方程 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴 焦点在 轴上时： 焦点在 轴上时： 注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置 常数 的关系 E