广东省中山市中山一中自主学习导学案：人教A版选修2-1《2.2.3求曲线的方程》

§2.2.3 求动点的轨迹方程（教师版） 1．定义法 【例1】如果点在运动过程中，总满足关系式， ，点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程． 【解析】此方程表示以 为焦点的椭圆，其中 ， ，∴ ． 因此，原方程化简为 ． 变式1．（1）方程 表示 ． （2）方程 表示 ． （3）方程 的解是 ． 【解析】（1）此方程表示以 为焦点的椭圆，其中 ， ，∴ ． 因此，原方程化简为 ． （2）此方程表示以 为端点的线段． （3） 化成标准方程为 令 ，即得 ，解得 ，解得 ． 【例2】已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18，求这个三角形的顶点A的轨迹方程． 【解析】以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，如图所示． 由|BC|＝8，可知点B(－4,0)，C(4，0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以点A的轨迹方程为＝1(y≠0)．＋ 变式1．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1内切，和圆C2外切，求动圆圆心的轨迹方程． 解：如图所示， 设动圆圆心为M(x，y)，半径为r. 由题意得动圆M内切于圆C1，∴|MC1|＝13－r. 圆M外切于圆C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8， 故所求轨迹方程为 ． 变式2．已知圆 : ,圆 : ,动圆 与 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 C.求C的方程． 【解析】∵圆 与圆 外切且与圆 内切，∴|PM|+|PN|= = =4， 由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为 . 2．带入法 【例3】如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？ 【解析】设点M的坐标为(x