广东省中山市中山一中自主学习导学案：人教A版选修2-1《2.1.1曲线与方程》

§2.1.1曲线与方程（教师版） 1．新课引入 我们知道，坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是 ．这就是说，如果点 是这条直线上的任意点，那么它到两坐标轴的距离相等，即 ，那么它的坐标 是方程的解；反过来，如果 是方程 的解，即 ，那么以这个解为坐标的点到两个坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上． 又如方程 表示如图的圆，满足关系： （1）如果 是圆上的点，那么 一定是这个方程的解； （2）如果 是方程 的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。 2．曲线与方程的概念 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 说明: 1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形. 2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” ,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）. 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）. 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0，那么点P0(x0 ,y0)在曲线C 上的充要条件是f(x0, y0)=0 ※ 典型例题 考点1：曲线与方程的概念 【例1】若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( ) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C             B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线C  D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部 【解析】D 【例2】判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0 【解析】(1)