河南省洛阳市2018届高三上学期期中考试数学（理）试题 （扫描版）

洛阳市２０１７———２０１８学年高中三年级期中考试 数学试卷参考答案（理） 一、选择题 　ＣＡＢＢＤ　ＤＢＡＣＡ　ＣＢ 二、填空题 １３．８　　１４． π ２ － ４ ３ 　１５． ９ ２ 　１６．狓狓＜２０１６或狓＞｛ ｝２０１８ 三、解答题 １７．（１）∵　珗犪·珗犫＝ （ｓｉｎ狓，－槡３）·（１，ｃｏｓ狓）＝０， ……１分 即ｓｉｎ狓－槡３ｃｏｓ狓＝０　∴　ｔａｎ狓＝槡３， ……３分 ∴　ｔａｎ２狓＝ ２ｔａｎ狓 １－ｔａｎ ２狓 ＝－槡３． ……５分 （２）由（１）得犳（狓）＝２ｓｉｎ（狓－ π ３ ），从而犵（狓）＝２ｓｉｎ（２狓＋ π ３ ）． ……６分 解２犽π－ π ２ ≤２狓＋ π ３ ≤２犽π＋ π ２ 得犽π－ ５π １２ ≤狓≤犽π＋ π １２ （犽∈犣）， ∴　犵（狓）的单调增区间是［犽π－ ５π １２ ，犽π＋ π １２ ］（犽∈犣）， ……８分 由２狓＋ π ３ ＝犽π得狓＝ １ ２ 犽π－ π ６ （犽∈犣），即函数狔＝犵（狓）图象的对称中心为 （１ ２ 犽π－ π ６ ，０）（犽∈犣）． ……１０分 １８．（１）由已知易得犪狀 ≠０，由犪狀犪狀＋１＋狀犪狀＋１ ＝２（狀＋１）犪狀， 得１＋ 狀 犪狀 ＝ ２（狀＋１） 犪狀＋１ ，即２犫狀＋１ ＝犫狀＋１； ……２分 ∴　犫狀＋１－１＝ １ ２ （犫狀－１）， 又犫狀－１＝ １ 犪１ －１＝－ １ ２ ， ∴　｛犫狀－１｝是以－ １ ２ 为首项，以１ ２ 为公比的等比数列． ……４分 从而犫狀－１＝ （－ １ ２ ）·（１ ２ ）狀－１ ＝－（ １ ２ ）狀 即狀 犪狀 ＝１－（ １ ２ ）狀，整理得犪狀 ＝ 狀·２狀 ２狀－１ ． 即数列｛犪狀｝的通项公式为犪狀 ＝ 狀·２狀 ２狀－１ ． ……７分 （２）∵　犫狀 ＝１－（ １ ２ ）狀 ∴　犮狀 ＝ １ １－（ １ ２ ）狀 ＝ ２狀 ２狀－１ ＝１＋ １ ２狀－１ ……９分 ∴　犛狀 ＝狀＋ １ ２－１ ＋ １ ２２－１ ＋ １ ２３－１ ＋…＋ １ ２狀－１ ≤狀＋ １ ２０ ＋ １ ２１ ＋ １ ２２ ＋…＋ １ ２狀－１ ……１０分 高三数学答案（理）　第１页　（共３页）　（２０１７．１０） ＝狀＋２－ １ ２狀－１ ＜狀＋２． ……１２分 １９．（１）由２ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆ｔａｎ犃ｔａｎ犆－（ ）１ ＝１，得２ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆 ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆 ｃｏｓ犃ｃｏｓ犆 －（ ）１ ＝１， ……１分 ∴　２ｓｉｎ犃ｓｉｎ犆－ｃｏｓ犃ｃｏｓ（ ）犆 ＝１，∴　ｃｏｓ犃＋（ ）犆 ＝－ １ ２ ， ……３分 ∴　ｃｏｓ犅＝ １ ２ ， ……４分 又０＜犅＜π，　∴　犅＝ π ３ ． ……５分 （２）在Δ犃犅犇 中由余弦定理得犮 ２ ＝１＋（ 犫 ２ ）２－２·１· 犫 ２ ｃｏｓ∠犃犇犅， 在Δ犆犅犇 中由余弦定理得犪 ２ ＝１＋（ 犫 ２ ）２－２·１· 犫 ２ ｃｏｓ∠犆犇犅， ……７分 二式相加得犪２＋犮 ２ ＝２＋ 犫２ ２ ＝２＋ 犪２＋犮 ２ －２犪犮ｃｏｓ犅 ２ ， 整理得犪２＋犮 ２ ＝４－犪犮， ……９分 ∵　犪 ２ ＋犮 ２ ≥２犪犮，　∴　犪犮≤ ４ ３ ， ……１０分 所以Δ犃犅犆的面积犛＝ １ ２ 犪犮ｓｉｎ犅≤ １ ２ ·４ ３ ·槡３ ２ ＝ 槡３ ３ ． 当且仅当犪＝犮＝ 槡２３ ３ 时“＝”成立， ∴　△犃犅犆面积的最大值为 槡３ ３ ． ……１２分 ２０．（１）　∵　犳（狓）＝ （狓 ２ ＋犿狓＋狀）犲 狓， ∴　犳′（狓）＝ （２狓＋犿）犲 狓 ＋（狓 ２ ＋犿狓＋狀）犲 狓 ＝ ［狓 ２ ＋（２＋犿）狓＋（犿＋狀）］犲 狓． 由 犳′ （－３）＝０ 犳′（０）＝｛ ０ 知 ９－３（犿＋２）＋（犿＋狀）＝０ 犿＋狀＝０｛ 　　　　　　 ，解得 犿＝１ 狀＝－｛ １ ……２分 从而犳（狓）＝ （狓 ２ ＋狓－１）犲 狓，　∴　犳′（狓）＝ （狓 ２ ＋３狓）犲 狓． 所以犳（１）＝ｅ，　∴　犳′（１）＝４ｅ， ……４分 曲线狔＝犳（狓）在点（１，犳（１））处的切线方程为狔－ｅ＝４ｅ（狓－１）， 即狔＝４犲狓－３ｅ． ……５分 （２）由于犲狓 ＞０，当狓变化时，犳′（狓），犳（狓）的变化情况如下表： 狓 （－∞，－３） －３ （－３，０） ０ （０，＋∞） 犳′（狓） ＋ ０ － ０ ＋ 犳（狓） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故犳（狓）的单调增区间是（－∞，－３），（０，＋∞），单调减区间是（－３，０）， ……９分 （３）由于犳（２）＝５ｅ ２，犳（０）＝－１，犳（－２）＝ｅ －２， 所以函数犳（狓）在区间［－２，２］上的最大值为５ｅ ２，最小值为－１． ……１２分 ２１．（１）由犃犇 ⊥犆犇，犃犅 ∥犆犇，犃犇 ＝犃犅 ＝１，可得犅犇