高二数学竞赛班一试讲义--复数与单位根-7
高二数学竞赛班一试讲义
第七讲 复数与单位根
班级 姓名
一、知识要点：
1．复数模、共轭
复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式
模与共轭的联系
2．复数的几何（向量）意义
在复平面上对应点
，也对应着向量
复数
满足
，轨迹表示复数
对应的点
组成的线段的中垂线
复数满足
，轨迹表示以
为圆心，
为半径的圆
复数满足
，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆）
3．复数的三角形式
，
是复数的辐角，
时称为复数的辐角主值
运算法则：
，
乘法
除法
乘方
开方，
有
个次方根：
4．单位根：记
，其中
为虚数单位，多项式
有个互不
相等的根
，它们称为次单位根。易于看到，在复平面上，个次
单位根对应的点恰是单位圆的内接正边形的顶点。
5．次单位根的性质：
（1）设
和
是整数，则
的充分必要条件是
（2）任意两个次单位根的乘积仍是一个次单位根；任意一个次单位根的倒数也是一
个次单位根。
（3）设是整数，
，则
恰给出全体次单位根。
证明：因为，所以
是模的一个完系
6．因是的个不同的根，故有
，
又
，所以
（1）
（2）
7．
的根为
，（可设
），有
（1）
，（2）
，（3）
二、例题精析
例1．（1） z为模大于1的复数，
，则z= ．
（2）（13北约6）模长都为1的复数
满足
,则
( )
A. 
B. 
C. 
D. 无法确定
例2．（2006年上海交大）已知
，
是实数，是复数，求
的最大值。
例3．若关于
的二次方程
，
的解在复平面上对应的四个不
同的点共圆，求实数
的取值范围。
例4．设M是单位圆
上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角
形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。
例5．已知单位圆的内接正边形
及圆周上一点
，求证：
。
例6．设是正整数，证明：
（1）
（2）
（3）
例7．(2011年清华金秋营)求sin
sin
sin
的值。
三、精选习题
1．（13华约5）若复数
的实部为0，
是复平面上对应
的点，则点
的轨
迹是（ ）
(A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧
2．关于
的一元二次方程
有一根模长为1，则=___________
3．若虚数
满足
，则
，其中
是正整数。
4．已知
，则
。
5．（2006年清华）求最小正整数
，使得
为纯虚数，并求出
．
