高二数学竞赛班一试讲义--复数与单位根-7

高二数学竞赛班一试讲义 第七讲 复数与单位根 班级 姓名 一、知识要点： 1．复数模、共轭 复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式 模与共轭的联系 2．复数的几何（向量）意义 在复平面上对应点 ，也对应着向量 复数 满足 ，轨迹表示复数 对应的点 组成的线段的中垂线 复数 满足 ，轨迹表示以 为圆心， 为半径的圆 复数 满足 ，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3．复数的三角形式 ， 是复数的辐角， 时称为复数的辐角主值 运算法则： ， 乘法 除法 乘方 开方 ， 有 个 次方根： 4．单位根：记 ，其中 为虚数单位，多项式 有 个互不 相等的根 ，它们称为 次单位根。易于看到，在复平面上， 个 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正 边形的顶点。 5． 次单位根的性质： （1）设 和 是整数，则 的充分必要条件是 （2）任意两个 次单位根的乘积仍是一个 次单位根；任意一个 次单位根的倒数也是一 个 次单位根。 （3）设 是整数， ，则 恰给出全体 次单位根。 证明：因为 ，所以 是模 的一个完系 6．因 是 的 个不同的根，故有 ， 又 ，所以 （1） （2） 7． 的根为 ，（可设 ），有 （1） ，（2） ，（3） 二、例题精析 例1．（1） z为模大于1的复数， ，则z= ． （2）（13北约6）模长都为1的复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 无法确定 例2．（2006年上海交大）已知 ， 是实数， 是复数，求 的最大值。 例3．若关于 的二次方程 ， 的解在复平面上对应的四个不 同的点共圆，求实数 的取值范围。 例4．设M是单位圆 上的动点，点N与定点A(2, 0)和点M构成一个等边三角 形的顶点，并且M→N→A→M成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。 例5．已知单位圆的内接正 边形 及圆周上一点 ，求证： 。 例6．设 是正整数，证明： （1） （2） （3） 例7．(2011年清华金秋营)求sin s