高二数学竞赛班一试讲义--函数与反函数--3
高二数学竞赛班一试讲义
第3讲 函数与反函数
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一、知识要点：
1、函数与映射的定义
函数：若A，B都是非空数集，依对应法则f，若对A中的任意一个数x，在B中都有唯一一个数y与之对应，则称f: A→B为A到B上的一个函数。A称为它的定义域， 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。
（1）映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。
（2）单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x
y, 都有f(x)f(y)则称之为单射。
（3）满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。
（4）一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。
2、反函数
若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如：函数
的反函数是
.
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线
对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
二、例题精析
例1．（1）求函数
的最小值．
（2）若实数
满足
，求函数
的最大值．
例2．求函数
的最大值．
例3．方程
一共有 个解.
例4．设
是实数，
对任意三个实数
存在一个以
为三边长的三角形，求的取值范围.
例5．（2014华约）（Ⅰ）求证：
的反函数为
；
（Ⅱ）
，
，若
，求证：
为奇函数．
例6．（2014华约）已知
，
，求证：
．
例7．设
是方程
… ①的根，
是系数为有理数的二次多项式，且
，求
．（
华约）
三、精选习题
1．已知
为一次函数，若对实数
满足
，则
的表达式为（ ）。
A.
B.
C.
D.
2．对a,b
R,记max{a,b}=
函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是
3．定义
，
，若
有
四个不同的实数解，则实数m的取值范围是 .
4．设
是正实数. 若
的最小值为10，则
.
5．函数f(x)=
的最大值为
6．（2013福建）函数
图像的对称中心是
7．已知
，求
的值。
8．设
为互不相等的实数，将它们按如下方法填入一张
的方格表中，即在位于第
行与第
列的交叉处的方格中填入数
；
已知表中任一行的各数的乘积皆是
，证明：表中任一列的各数的乘积也是．
