高二数学竞赛班一试讲义--函数与反函数--3

高二数学竞赛班一试讲义 第3讲 函数与反函数 班级 姓名 一、知识要点： 1、函数与映射的定义 函数：若A，B都是非空数集，依对应法则f，若对A中的任意一个数x，在B中都有唯一一个数y与之对应，则称f: A→B为A到B上的一个函数。A称为它的定义域， 集合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。 （1）映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A→B为一个映射。 （2）单射，若f: A→B是一个映射且对任意x, y∈A, x y, 都有f(x) f(y)则称之为单射。 （3）满射，若f: A→B是映射且对任意y∈B，都有一个x∈A使得f(x)=y，则称f: A→B是A到B上的满射。 （4）一一映射，若f: A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1: A→B。 2、反函数 若函数f: A→B（通常记作y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射f-1: A→B叫原函数的反函数，通常写作y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式y=f(x)中反解x得x=f-1(y)，然后将x, y互换得y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。 例如：函数 的反函数是 . 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线 对称。 定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 二、例题精析 例1．（1）求函数 的最小值． （2）若实数 满足 ，求函数 的最大值． 例2．求函数 的最大值． 例3．方程 一共有 个解. 例4．设 是实数， 对任意三个实数 存在一个以 为三边长的三角形，求 的取值范围. 例5．（2014华约）（Ⅰ）求证： 的反函数为 ； （Ⅱ） ， ，若 ，求证： 为奇函数． 例6．（2014华约）已知 ， ，求证： ． 例7．设 是方程 … ①的根， 是系数为有理数的二次多项式，且 ，求 ．（ 华约） 三、精选习题 1．已知 为一次函数，若对实数 满足 ，则 的表达式为（ ）。 A. B.