高二数学竞赛班二试数论讲义-数论综合（二）-11

高二数学竞赛班二试讲义 第11讲 数论综合（二） 班级 姓名 一、例题精析 例1．试求满足方程 的所有整数对 。 例2．(东南赛）求证：对于每个正整数 ，都存在满足下面三个条件的素数 和整数 ： ⑴ ； ⑵ ； ⑶ ． 例3．设a、b、c ，若二次方程 有有理根， 证明：三位数 不是素数。 例4．（07年LS）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)= ，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。 二、精选习题 1．试证方程 无整数解 2．解方程组 ，其中 3．求方程 的整数解。 4．证明：对于每个正整数 ，存在唯一的一个 位正整数 ，它能被 整除，并且它的 每一位数字皆属于 ． 5．课间休息时， 个学生围着老师坐成一圈做游戏，老师按顺时针方向并按下列规则给学生发糖：老师选择一个学生并给一块糖，隔 个学生给下一个学生一块，再隔 个学生给下一个学生一块，再隔 个学生给下一个学生一块；……。试确定 的值，使最后（也许绕许多圈）所有学生每人至少一块糖。 6．设 ，试求 的值。 其中 ， 表示不超过 的最大整数。 高二数学竞赛班二试讲义 第11讲 数论综合（二） 例1．设整数对 满足方程 将其看作关于x的一元二次方程，其判别式 的值应为一完全平方数； 若 ，则 ； 若 ，则 可取 ，相应的 值分别为8036、7536、6036和3536，它们皆不为平方数； 因此，仅当 时， 为完全平方数。 若y = 4，方程(1)化为 ， 解得x=1或x=7； 若 ，方程(1)化为 ，解得 或 。 综上可知，满足原方程的全部整数对为： 。 例2．证法一：我们先证明模6余5的素数有无穷多个，若不然，则模6余5的素数只有有限多个，设它们从小到大排列为 ．考虑数 ，它模6余5，因此它的素因子必然模6余1或5，特别地，它有一个素因子模6余5. 由假设知这个素因子必为 之一，不妨设这个素因子为 ，则由 得 ，矛盾. 由于模6余5的素数有无穷多个，其中必然有不整除 的素数，设其中一个为 ，并记 ，则已有 和 . 我们取 ，即有 ， 这样的 和 即满足条件，证毕. 证法二：当 时，取 ，容易验证 和 满足题目条件；