高二数学竞赛班二试数论讲义-数论综合（一）-10

高二数学竞赛班二试讲义 第10讲 数论综合（一） 班级 姓名 一、例题精析 例1．试求最小的正整数 ，使得对于任何 个连续正整数中，必有一数，其各位数字之和是 的倍数。 例2．（2009年LS）设 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数 ，使得 与 互素． 例3．证明：方程 有无穷多组整数解 例4．（东南赛）是否存在正整数 ， 使得 为完全平方数？请证明你的结论． 二、精选习题 1．（94LS）将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，试求出这个数列的第1000项。 2．对正合数 ，记 为其最小的三个正约数之和， 为其最大的两个正约数之和．求所有的正合数 ，使得 等于 的某个正整数次幂．（何忆捷提供） 3．Find all positive integers x and y such that divides . 4．（东南赛）求满足 ，且 的所有三元正整数组(a, b, c)。 高二数学竞赛班二试讲义 第10讲 数论综合（一） 例1．分析：首先 ，如 这 个正整数，每个正整数的各位数字之和都不是 的倍数。由于进位的原因，并不是所有的连续正整数的各位数字之和，除以7的余数依次从 变化到 的。能否找到一列数，进位之前的连续正整数的各位数字之和除以7的余数依次从 变化到 ，进位之后的连续正整数的各位数字之和除以7的余数依次从 变化到 ？ 解：我们可以指出12个连续正整数， 例如：994,995,996,997,998,999,1000,1001,1002,1003,1004,1005 其中任一数的各位数字之和都不是 的倍数。因此 。 再证，任何连续13个正整数中，必有一数，其各位数字之和是 的倍数。 对每个非负整数 ，称如下10个数所构成的集合： 为一个“基本段”，13个连续正整数，要么属于两个“基本段”，要么属于三个“基本段”， 当13个连续正整数属于两个“基本段”时，根据抽屉原理，其中必有连续的7个数，属于同一个“基本段”； 当13个连续正整数属于三“基本段” 时，其中必有连续的10个数同属于 。现在设 ， ，…， 是属于同一个“基本段”的7个数，它们的各位数字之和分别为 ，显然，这7个和数被7除的余数互不相同，则必有一数是7的倍数。因此，所求的最小值为 。 例2．证法一：对任意正整数