高二数学竞赛班二试数论讲义-几个特殊的不定方程-8

高二数学竞赛班二试讲义

第8讲   几个特殊的不定方程

 

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一、知识要点：

1．勾股数方程

   定义  形如的方程叫做勾股数方程，这里为正整数，并称满足条件的解为方程基本解。

  定理  勾股数方程满足条件且的一切基本解可以表示为：

  ，其中为正整数，且一奇一偶，。

2．不定方程

   这个四元方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出。

   设，则，，则

3．中国剩余定理  设是两两互质的正整数，

记 ，，则同余方程组有且仅有一组解，其中，，。

4．佩尔（Pell）方程

  定义  设，且不是完全平方数，则形如的方程叫做佩尔方程

定理1  如果是使最小的方程的解（称为最小解），则

也是方程的一组解

每个解都可以取幂得到。

下表是佩尔方程，且不是完全平方数的最小解

	2	3	5	6	7	8	10	11	12	13	14	15	17	18	19
	3	2	9	5	8	3	19	10	7	649	15	4	33	17	170
	2	1	4	2	3	1	6	3	2	180	1	1	8	4	39

定理2  如果是使最小的方程的解（称为最小解），则

也是方程的一组解

每个解都可以取幂得到。

 

 

 

 

5．方程

方程可能有解也可能无解，如果有正整数解时，它一定有无穷多组解。

证明：设是方程的解，是的任一组解，那么

  

因此，是方程的解。由于方程有无穷多组解，所以这时方程也有无穷多组解。

二、例题精析

例1．在直角坐标平面上，以为圆心，求以为半径的圆周上整点的个数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．设为正整数，。证明：不是素数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．证明：有无穷多个正整数，使得为完全平方数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．（第30届IMO试题）设为任意的正整数。证明：一定存在个连续的正整数解，

     使其中任何一个都不是质数的整数幂。