高二数学竞赛班二试数论讲义-几个特殊的不定方程-8

高二数学竞赛班二试讲义 第8讲 几个特殊的不定方程 班级 姓名 一、知识要点： 1．勾股数方程 定义 形如 的方程叫做勾股数方程，这里 为正整数，并称满足条件 的解为方程基本解。 定理 勾股数方程 满足条件 且 的一切基本解可以表示为： ，其中 为正整数，且 一奇一偶， 。 2．不定方程 这个四元方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出。 设 ，则 ， ，则 3．中国剩余定理 设 是两两互质的正整数， 记 ， ，则同余方程组 有且仅有一组解 ，其中， ， 。 4．佩尔（Pell）方程 定义 设 ，且不是完全平方数，则形如 的方程叫做佩尔方程 定理1 如果 是使 最小的方程 的解（称为最小解），则 也是方程 的一组解 每个解 都可以取幂得到 。 下表是佩尔方程 ，且 不是完全平方数的最小解 2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 17 18 19 3 2 9 5 8 3 19 10 7 649 15 4 33 17 170 2 1 4 2 3 1 6 3 2 180 1 1 8 4 39 定理2 如果 是使 最小的方程 的解（称为最小解），则 也是方程 的一组解 每个解 都可以取幂得到 。 5．方程 方程 可能有解也可能无解，如果有正整数解时，它一定有无穷多组解。 证明：设 是方程 的解， 是 的任一组解，那么 因此， 是方程 的解。由于方程 有无穷多组解，所以这时方程 也有无穷多组解。 二、例题精析 例1．在直角坐标平面上，以 为圆心，求以 为半径的圆周上整点的个数。 例2．设 为正整数， 。证明： 不是素数。 例3．证明：有无穷多个正整数 ，使得 为完全平方数 例4．（第30届IMO试题）设 为任意的正整数。证明：一定存在 个连续的正整数解， 使其中任何一个都不是质数的整数幂。 三、精选习题 1．证明：存在无穷多对正整数 ，使得 （第26届IMO预选题） 2．设 ，若 元正整数集合 满足：对任何整数 ，都存在 ， ，使得 与 是不互质的数，就称 为“好集”． 证明：若 为“好集”，且 中所有元素之和为 ，则存在 ，使得