高二数学竞赛班二试数论讲义-不定方程-7

高二数学竞赛班二试讲义 第7讲 不定方程 班级 姓名 一、知识要点： 不定方程（组）是指未知数多于方程个数的方程（组）。数论问题中，经常讨论的是在整数（或正整数）范围内求解不定方程（组）。 1．二元一次方程 定义 形如 不同时为零 的方程称为二元一次方程。 定理 当 时，先求二元一次方程 的特解 ，则通解为 ；当 时，方程无解。 2．不定方程问题的常见类型 （1）求不定方程的解；（2）判断不定方程是否有解；（3）判断不定方程解的数量。 3．不定方程问题的常见方法 （1）公式法；（2）奇偶分析法；（3）数或式的分解法；（4）不等式估计法； （5）选择特殊模的方法；（6）构造法；（7）换元法；（8）费尔马无穷递降法。 二、例题精析 例1．求不定方程 的整数解。 例2．求出所有的正整数 ，使得关于 的方程 恰有2011组满足 的正整 数解 ． 例3．试求出所以的正整数 ，其中 ，且使得 是 的约数。 例4．求出所有满足 的正整数三元组 。 三、精选习题 1．求不定方程 的整数解。 2．求所有的有理数 ，使得方程 的所有解都是整数。 3．(2013华约自主招生）已知x、y、z是三个大于1的正整数，且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1)，求x、y、z的所有可能的值。 4．求方程 的正整数解 5．求所有正整数 ，使 为平方数。 高二数学竞赛班二试讲义 第7讲 不定方程 例1． ，先求 的一组特解。为此对 用辗转相除法。 ， ， ，将上述过程回填。 故 是方程 的一组特解， 于是 是方程 的一组特解。 例2．解：由题设， ．所以，除了x=y=2n外， 取 的小于 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x, y)．故 的小于 的正约数恰好为2010． 设 ，其中 是互不相同的素数， 是非负整数．故 的小于 的正约数个数为 ， 故 ． 由于4021是素数，所以 ， ， ． 所以， ，其中 是素数． 例3．令 ，则 又因为 所以 或 （1）当 时，则 显然 ，若 ，则 ，从而 ，矛盾 因此， ，此时， 易知 （当 时， ，上式不成立）。仅当 时， 为整数，故仅有一组整数解 （2）当 时，则 同理可判断 故 易知 ，仅当 时， 为整数，故仅有一组整数解 综上所述，满足题意的正整数 为 例4．先取模