高二数学竞赛班二试数论讲义-不定方程-7

高二数学竞赛班二试讲义

第7讲   不定方程

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一、知识要点：

不定方程（组）是指未知数多于方程个数的方程（组）。数论问题中，经常讨论的是在整数（或正整数）范围内求解不定方程（组）。

1．二元一次方程

定义  形如不同时为零的方程称为二元一次方程。

定理 当时，先求二元一次方程的特解，则通解为；当时，方程无解。

2．不定方程问题的常见类型

（1）求不定方程的解；（2）判断不定方程是否有解；（3）判断不定方程解的数量。

3．不定方程问题的常见方法

（1）公式法；（2）奇偶分析法；（3）数或式的分解法；（4）不等式估计法；

（5）选择特殊模的方法；（6）构造法；（7）换元法；（8）费尔马无穷递降法。

二、例题精析

例1．求不定方程的整数解。

 

 

 

 

 

 

 

例2．求出所有的正整数，使得关于的方程恰有2011组满足的正整

     数解．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．试求出所以的正整数，其中，且使得是的约数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．求出所有满足的正整数三元组。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、精选习题

1．求不定方程的整数解。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2．求所有的有理数，使得方程的所有解都是整数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3．(2013华约自主招生）已知x、y、z是三个大于1的正整数，且xyz整除(xy-1)(yz-1)(zx-1)，求x、y、z的所有可能的值。