高二数学竞赛班二试数论讲义-整除的方法-6

高二数学竞赛班二试讲义 第6讲 整除问题 班级 姓名 一、知识要点： 1．因式分解法 2．素因子整除法 二、例题精析 例1．求所有能使 为正整数的正整数 。 例2．求使 整除 的最小正整数 。 例3．设 为正整数，证明： 。 三、精选习题 1．设集合 ，其中 均为整数，则集合 中所有元素的和等于（ ） A． B． C． D． 2．若方程 有两个正整数解，则 的值等于 。 3．（2011年全国联赛）证明：对任意整数 ，存在一个 次多项式 具有如下性质： （1） 均为正整数； （2）对任意正整数 ，及任意 EMBED Equation.DSMT4 个互不相同的正整数 ，均有 4．设 是非负整数，证明： 是整数。 5．（2012年全国联赛）试证明：集合 满足 （1）对每个 ，及 ，若 ，则 一定不是 的倍数； （2）对每个 （其中 表示 在 中的补集），且 ，必存在 ， ，使 是 的倍数。 第6讲 整除问题 例1．设 ， 为正整数，则 ① 设方程①有正整数根 ，且另一根为 ，由韦达定理有 ， 因此 也是正整数，不妨设 ，由 ，得 ， 由 ，得 ，所以 ， 经检验可知，只有 符合条件，此时， 。 因此，所求 为 或 评注：本题在得到 后，还有一个办法求 ，如果 ，则由上式得， ，因为 ，所以 ，或 ， 或 ，或 ， 求得 ，而 无整数解。所以 ， 则所求 为 或 。 例2．解：设 （其中 为奇数）， 则 ， 其中 是 个奇数和， 为奇数。 于是 等价于 法1：又 ， 对一切正整数 ， ， 所以 ，则 由于 所以由前面的叙述知， ， 所以 ， ， 所以 ， 法2： ， 所以 ，所以 ， ， 所以 ， 从而使 整除 的最小正整数 为 。 例3．我们只需证明，对任意素数 ， ，设 ，则 如果 ， ，即 ，可见 如果 ，则有 ，使得 ， 这同余式右端是连续 个整数之积，能被 整除，从而更被 整除。 即 ， 但 ，故 ，所以 1．D 提示：不妨设 ，则 ，则一定有 ，所以 ， 则 ，所以 ，则 ，其和为 2． 提示：设两根为 ，则 ，消去 ，得 ， ，因为 ， 所以 或 ， 得 或 ，因此， 3．证明：令 ① 将①的右边展