高二数学竞赛班二试数论讲义-高斯函数-1

高二数学竞赛班二试讲义 数论第1讲 高斯函数（取整函数） 班级 姓名 一、知识点金 1．有关概念 对于任意实数 ， 为不超过 的最大整数， 称为取整函数或叫高斯函数，并将 称为小数部分函数，表示 的小数部分。 2．重要性质 （1） 的定义域为 ，值域为 ； （2）如果 ，则有 ； （3）对任意 ，有 ， ； （4）当 时，有 ，即 是不减函数； （5）对于 ，有 ； （6）如果 ， ，则 ； （7）如果 ， ，则 。 性质的证明 （1）（2）（3）（4）略 （5）分析： ， 或 （6）分析： 、 （7）分析： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 3．常用方法 （1）定义法 （2）讨论法 （3）分组法 （4）去整法 （5）构造法 二、例题分析 例1．（1995年全国联赛题）求方程 的实数根个数。 例2．（1） ，且 至 之间的整数中，有 个是 的倍数。 （2）在 中，质数 的最高方次数是 。 （3） 为实数， 为正整数，求证： 。 例3．若实数 满足 ，求 的值。 例4．求 的值。 例5．设 表示不超过实数 的最大整数，求集合 的元素个数。 三、同步检测 1． 的值为 ． 2．（2011年高中数学联赛）已知 EMBED Equation.DSMT4 ，则数列 中整数项的个数为 ． 3．求使 成立的正整数 。 4．计算和式 的值。 5．设 为实数， 为正整数，求证： （美国中学生数学竞赛题） 高二数学竞赛二试讲义 第1讲 高斯函数（取整函数）答案 二、例题分析 例1．因为 ，所以 ，解得 。 （1）当 时， ，代入原方程得 ，得 。 （2）当 时， ，代入原方程得 ，不符合 。 （3）当 时， ，代入原方程得 ，得 。 （3）当 时， ，代入原方程得 ，得 。 综上所述，原方程有三个实数根 。 例2．（1） ，且 至 之间的整数中，是 的倍数的数是 共 个。 （2）由于 是质数，因此在 中，质数 的最高方次数是 一定是 个数中所含 的方次数的总和。由（1）知， 中有 个 的倍数，有 个 的倍数，…，所以 。 （3）设 ， 则 所以函数 是以 为周期的周期函数， 令 ，得 ， 所以 ，又由周期性