高二数学竞赛班二试数论讲义-高斯函数-1

高二数学竞赛班二试讲义

数论第1讲  高斯函数（取整函数）

 

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一、知识点金

1．有关概念

对于任意实数，为不超过的最大整数，称为取整函数或叫高斯函数，并将称为小数部分函数，表示的小数部分。

2．重要性质

（1）的定义域为，值域为；

（2）如果，则有；

（3）对任意，有，；

（4）当时，有，即是不减函数；

（5）对于，有；

（6）如果，，则；

（7）如果，，则。

性质的证明

（1）（2）（3）（4）略

（5）分析：，或

（6）分析：、

（7）分析：

3．常用方法

（1）定义法  （2）讨论法  （3）分组法  （4）去整法   （5）构造法

二、例题分析

例1．（1995年全国联赛题）求方程的实数根个数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例2．（1），且至之间的整数中，有个是的倍数。

（2）在中，质数的最高方次数是。

（3）为实数，为正整数，求证：。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3．若实数满足，求的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例4．求的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例5．设表示不超过实数的最大整数，求集合的元素个数。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、同步检测

1．的值为              ．

2．（2011年高中数学联赛）已知，则数列 中整数项的个数为              ．

 

3．求使成立的正整数。