高二数学竞赛班二试函数与多项式讲义-多项式的零点2
高二数学竞赛班二试讲义
第2讲 多项式的零点
班级 姓名
一、知识点金
1．设多项式
，其中
（
可以是复数集
，实数集
，有理数集
，整数集
），在中的数
使
，则称为
的零点。
2．因式定理：设
，则
是的零点的充要条件是被
整除。
3．
中
次多项式至多有个不同的零点；
中次多项式有个不同的零点。
4．设中多项式
在中至少有
个零点，则是零多项式（即所有项系数都是0）。
5．恒等定理：设
，如果有无穷多个
，使得
，则
（即
与
的同次幂的系数相等）
6．设
，其中
，当正整数
时，称为单根，当正整数
时，称为重根，计算的零点个数时，重根计入重数。
7．设是一个整系数多项式，
是一个素数。若整数满足
，则称是模的一个零点，或称是同余方程
的一个解。
8．拉格朗日定理：设是一个整系数多项式，是一个素数，模的次数为，则同余方程②至多有个互不相同（即模不同余）的解。如
是，
有两个解
。但如果是合数，则结论不再正确，如
有两个解
9．设
，
，
，且
。若
是的一个有理根，这里整数
与
互素，则
，
证明：由
得
，
由于
都能被整除，故
，有
，所以，同理
10．复数系数多项式中任一个次多项式
，在复数集上可唯一地分解为
，其中
是的首项系数，恰有个复数根。
11．韦达（Viete）定理：设
是
的个根，则
，
，
，
，
证明：对照
左右两端
的系数，左端的系数为
，右端选
个括号取
，余下
个括号取常数项，故右端的系数为
，所以
，
故有
1
二、例题分析
例1．求
被
除得的余式。
例1．由于是二次多项式，因此设
令
得
，令
，得
，所以
，
即余式是
例2．证明：多项式
没有实根。
例2．记
对于
，显然有
当
时，
，从而对有
于是对所有实数，有，故多项式没有实根。
例3．设
是实数，试确定多项式
的实根的个数。
例3．将看成关于的二次多项式，
或
作函数
和
，观察直线
与两列函数图象的交点，
当
时实根的个数为0个，当
时实根的个数为2个，当
时实根的个数为4个
例4．已知
互不相等，
也互不相等，求满足下面方程组的
的值。
例4．考虑关于
的辅助方程
①
将①去分母得关于的至多
次方程，而方程①有个互不相等的根
，因此 ①式去分母后必定是一个恒等式，从而①本身是恒等式。
将①两边同乘以
，再令
，即得
，
类似地有
，…，
1
例5．设
为正整数，证明：
例5．由棣莫佛公式及二项式定理易知，对任意正整数及实数
，有
比较虚部得到
现在取
，
，则
将上式两端同除以
，对有
即次方程
有个根
由韦达定理知
例6．给定
个互不相同的复数
，将它们按下列规则填入
方格表中：第
行和第
列相交处的方格内填
。证明：若各列数的乘积相等，则各行数的乘积也相等。
例6．设各列数的积等于，考虑多项式
。
由已知得
。由于
互不相等，这表明次多项式有个不同的根，因此次多项式又可以表示为
。
故得出等式
令
，得
，
即各行数的乘积都是
。
例7．证明：若
与
都是有理数，则必为下面五个数之一：
例7．证明：设
，其中
为整数且
，则
。 ①
论证的关键是先证明，对任意正整数，
可以表示为
的次多项式，且首项系数为1，即有
，②
都是整数。
用归纳法证明。首先，对
， 
，结论成立
若命题对及已成立，
则由和差化积公式有等式
表明命题对
也成立。这就归纳证明了上述命题。
由①②可知，
是方程
的有理根。
因为这个方程具有整数系数，且首项系数为1，故其有理根必为整数，即是整数；但
，所以
，
即必为下面五个数之一：
1