高二数学竞赛班二试函数与多项式讲义-多项式的零点2

高二数学竞赛班二试讲义 第2讲 多项式的零点 班级 姓名 一、知识点金 1．设多项式 EMBED Equation.KSEE3 ，其中 （ 可以是复数集 ，实数集 ，有理数集 ，整数集 ），在 中的数 使 ，则称 为 的零点。 2．因式定理：设 ，则 是 的零点的充要条件是 被 整除。 3． 中 次多项式至多有 个不同的零点； 中 次多项式有 个不同的零点。 4．设 中多项式 在 中至少有 个零点，则 是零多项式（即所有项系数都是0）。 5．恒等定理：设 ，如果有无穷多个 ，使得 ，则 （即 与 的同次幂的系数相等） 6．设 ，其中 ，当正整数 时，称 为单根，当正整数 时，称 为重根，计算 的零点个数时，重根计入重数。 7．设 是一个整系数多项式， 是一个素数。若整数 满足 ，则称 是 模 的一个零点，或称 是同余方程 的一个解。 8．拉格朗日定理：设 是一个整系数多项式， 是一个素数， 模 的次数为 ，则同余方程②至多有 个互不相同（即模 不同余）的解。如 是， 有两个解 。但如果 是合数，则结论不再正确，如 有两个解 9．设 ， ， ，且 。若 是 的一个有理根，这里整数 与 互素，则 ， 证明：由 得 ， 由于 都能被 整除，故 ，有 ，所以 ，同理 10．复数系数多项式 中任一个 次多项式 EMBED Equation.KSEE3 ，在复数集 上可唯一地分解为 ，其中 是 的首项系数， 恰有 个复数根。 11．韦达（Viete）定理：设 是 的 个根，则 ， ， ， ， 证明：对照 左右两端 的系数，左端 的系数为 ，右端选 个括号取 ，余下 个括号取常数项，故右端 的系数为 EMBED Equation.KSEE3 ，所以 EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 ， 故有 二、例题分析 例1．求 被 除得的余式。 例1．由于 是二次多项式，因此设 令 得 ，令 ，得 ，所以 ， 即余式是 例2．证明：多项式 没有实根。 例2．记 对于 ，显然有 当 时， ，从而对 有 于是对所有实数 ，有 ，故多项式 没有实根。 例3．设 是实数，试确定多项式 的实根的个数。 例3．将 看成关于 的二次多项式， 或 作函数 和 ，观察直线 与两列函数图