2017-2018学年人教版八年级数学上册学案:12.3 角的平分线的性质 （2份打包）

12．3　角的平分线的性质 第1课时　角的平分线的性质 1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质． 2．掌握角平分线的画法． 阅读教材P48～49，完成预习内容． 知识探究 1．____________________________叫做角的平分线． 2．角的平分线的性质是____________________________________．它的题设是________________，结论是____________________． 自学反馈 1．如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5 cm，则BC的长是多少？ 2．已知：如图，∠AOB. 求作：∠AOB的平分线OC. 　角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直． 活动1　小组讨论 例1　已知：如图，直线AB及其上一点P. 求作：直线MN，使得MN⊥AB于P. 作法：略． 例2　已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF. 证明：在△ABD与△ACD中， ∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD， ∴△ABD≌△ACD. ∴∠BAD＝∠CAD. ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. 　先证△ABD≌△ACD，从而得∠BAD＝∠CAD，AD为∠BAC的平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF. 活动2　跟踪训练 1．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法) 2．如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点．求证：PD＝PE＝PF. 　　　 　角平线的性质是证线段相等的另一途径． 3．已知，如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由． 　在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一． 活动3　课堂小结 在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边作垂线段的方法．在已知角平分线的条件下，也可想到翻折的方法． 【预习导学】 知识探究 1．把一个角分成两个相等的角的射线　2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等　角的平分线上的点　到角的两边的距离相等　 自学反馈 1．15 cm.　2.略． 【合作探究】 活动2　跟踪训练 1．作∠B的平分线交AC于点P，图略．　2.证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.同理证得PE＝PD.∴PD＝PE＝PF.　3.结论：DE＝DF.(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM＝DN，再证△DME≌△DNF，∴DE＝DF.) $$ 第2课时　角的平分线的判定 1．掌握角平分线的判定． 2．熟练运用角的平分线的判定及性质解决问题． 阅读教材P50，完成预习内容． 知识探究 1．到角的两边距离相等的点在________________．所以，如果点P到∠AOB两边的距离相等，那么射线OP是________________． 2．完成下列各命题，注意它们之间的区别与联系． (1)如果一个点在角的平分线上，那么________________________； (2)如果一个点到角的两边的距离相等，那么________________________； (3)综上所述，角的平分线是____________________的集合． 3．(1)三角形的三条角平分线相交于______点，它到______________． (2)三角形内，到三边距离相等的点是____________． 　利用角平分线的判定证角平分线比证全等要简便得多． 自学反馈 如图，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠DAB＝120°，则∠ACB的度数为(　　) A．60° B．45° C．30° D．75° 活动1　小组讨论 例1　已知：如图，△ABC. 求作：点P，使得点P在△ABC内，且到三边AB、BC、CA的距离相等． 作法：(提示)作三个内角平分线交于一点P，点P即为所求作的点． 例2　如图，在△ABC中，外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF相交于点F. 求证：点F也在∠BAC的平分线上． 证明：过点F作FM⊥BC于点M，FG⊥AB于点G，FH⊥AC于点H， ∵BF、CF是∠CBD和∠BCE的平分线， ∴FG＝FM，FH＝FM.∴FG＝FH. ∴点F也在∠BAC的平分线上． 　过点F作AD、BC、AE的垂线段FG、FM、FH，然后证FG＝FH. 活动2　跟踪训练 1．已知：如图，CD