第2课时 角的平分线的判定-【名师学案】2024-2025学年八年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第2课时 角的平分线的判定 础知识储备出 1,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分 线上 2.三角形的三条角平分线相交于三角形 点，且该点到三角形 的距离相等。 A基础练 @婚必备知识梳理一 知识点二三角形的角平分线 知识点一角的平分线的判定 3.在三角形中，到三边距离相等的点是( 1.(1)【新课标·补充解题过程】如图，点P是 A.三条中线的交点 ∠AOB内的任意一点，过点P作PD⊥OA B.三条角平分线的交点 于点D,PE⊥OB于点E,连接OP,若PD= C.三条高线的交点 PE,则OP是∠AOB的 D.内部任意一点 符号语言表示为： 4.如图，在△ABC中，D为三个内角平分线的 ,PD⊥OA,PE⊥OB, 交点，过点D作BC的垂线，垂足为E,若 PD-PE, S△A=24,DE=4,则△ABC的周长为 .OP是∠AOB的 ∴.∠POD= (2)【T1(1)变式】如图，PM⊥OA,PN⊥OB. 若PM=PN,∠BOC=30°，则∠AOB的度数 第4题图 第5题图 为 ( 5.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点， A.30° B.45 C.60° D.50° 且点O到△ABC三边的距离相等.∠A= B 40°，则∠BOC= 知识点三角的平分线的实际应用 6.【教材P55复习题T6变式】如图是某景区的 条小路AB,BC,AC,现计划在三个景点围成 第1(2)题图 第1(3)题图 的三角形区域内建立一个纪念品商店，并且 (3)【T1(1)变式·逆向思维】如图，PM⊥AB 要求该纪念品商店到三条小路的距离相等. 于M,PN⊥AC于N,PM=3,当PN= 请你用尺规作出纪念品商店的位置，（保留作 时，点P在∠BAC的平分线上. 图痕迹，不写作法》 2.如图，DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF ⊥AC于点F,且BE=CF,DB=DC.求证： AD是∠BAC的平分线， 35 八年级数学·上册 易错点○因考虑问题不全面而漏解 C素养练 秀变科养持宝一 7.直线1，l2,l3表示三条两两相互 11.(教材P52习题T7变式) 一题多设问 交叉的公路，现在拟建一个货物 如图，四边形ABDC中，∠D=∠B=90°，点 中转站，要求它到三条公路的距 离都相等，则可供选择的地址有 O为BD的中点，且OA平分∠BAC.求证： () (1)OC平分∠ACD: A.1处B.2处 C.3处 D.4处 (2)OA⊥OC: 【点拨】三角形两外角平分线的交点到三角形三边所 (3)AB++CD=AC. 在直线的距离也相等.该货物中转站可能在三条公 路围成的三角形内，也可在此三角形外 B综合练 关键能力提升一 8.在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边的距离相等的点应是 () A.点M B.点N C.点P D.点Q 9.如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BA和 CD的延长线相交于点E.若存在点P,使得 S△PAB=S△cD,则满足此条件的点P () A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.组成∠E的平分线 D.组成∠E平分线所在的直线 与∠E的邻补角的平分线所 在的直线（点E除外） 10.【教材P50练习T2变式】如图，∠ABC的平 分线与△ACB的外角∠ACM的平分线相 交于点D,连接AD. (1)求证：AD是△BAC的外角∠CAN的平 分线； (2)若∠ABC=50°，则∠ADC= 核心 几何直观运算能力 素养 推理能力应用意识 助学助教优质高数36高，∴.CF⊥AB,CE⊥AD,∠BFC=∠E=90°，又AC平分∠BAD,.CF=CE. 又BC=DC,.Rt△BFC≌Rt△DEC.∴.BF=DE.6.中线A'D'A'B' ∠BBC安 BD'A'B′∠BB'D'A'B'D'7.A8.109. (1)DC=DB(2)证明：过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,则 ∠DFC=∠DEB=90°.·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF. ∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠FCD=180°，∴.∠B=∠FCD.在△DFC和 「∠DFC=∠DEB, △DEB中，3∠FCD=∠B,∴.△DFC≌△DEB(AAS).∴.BD=DC DF=DE, 微专题（三） 1.152.23.304.(1)6(2)8 第2课时角的平分线的判定 知识储备 2.内三边 基础练综合练素养练 1.(1)平分线平分线∠POE(2)C(3)32.证明：，DE⊥AB,DF⊥AC, ∠BED=∠DPFC=9O,在Rt△DEB和R△DFC中，BB=DC,.R△DEB ≌Rt△DFC(HL),∴.DE=DF.又DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD是∠BAC的平分 线.3.B4.125.110°6.解：图略.7.D8.A9.D10.(1)证明：过点 D分别作DE⊥AB,DG⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,G,F.又·BD平分 ∠ABC,CD平分∠ACM,.DE=DF,DG=DF..DE=DG..AD平分 ∠EAC,即AD是△BAC的外角∠CAN的平分线.(2)65°11.证明：(1)过点 O作OE⊥AC于点E.·OA平分∠BAC,∠B=∠AEO=90°，∴.OE=OB.点 O为BD的中点，∴.OB=OD,∴.OE=OD.又∠CEO=∠D=90°，.点O在 ∠ACD的平分线上，∴.OC平分∠ACD:(2)由(1)可知∠AOB=∠AOE,∠COE =∠C0D∠A0C-∠B0E+∠D0E=×180°=90,0A10C,(3) 在R△AOB和R1△AOE中，8A-8A:R1△AOB≌R△A0EH)AE园 AB.同理可证Rt△EOC≌Rt△DOC,∴.EC=DC,∴.AE+CE=AB+CD,即AC =AB+CD. 重点突破专题（一）构造全等三角形的常用辅助线 1.证明：过点P作PH⊥BA于H,PG⊥BC于G.则∠PHD=∠PGB=∠PGC =90°..BP平分∠ABC,PH⊥BA,PG⊥BC,.PH=PG.在Rt△PDH和Rt APEG中，PH-PE,Ri△PDH≌Rt△PEG(HD,∠PDH=∠PEG3 ∠PDB+∠PDH=180°，.∠PDB+∠PEB=180°.2.证明：在BC上取点F, 使BF=BA.连接DE.:BD平分∠ABC∠ABD=∠CBD=立∠AC-=20 ∴.∠ADB=180°-∠A-∠ABD=60°.在△ABD和△FBD中， (AB=FB, ∠ABD=∠CBD,∴.△ABD≌△FBD(SAS).∴.∠ADB=∠FDB=60°，AD= BD=BD, DF.又AD=DE,∠FDC=180°-∠ADB-∠BDF=60°，.DF=DE,∠FDC= (FD=ED, ∠ADB=∠EDC=60°.在△FCD和△ECD中，∠FDC=∠EDC,.△FCD≌ DC=DC, △ECD(SAS).∴.EC=FC..BC=BF+CF=BA+EC.3.(1)证明：延长AD 至E,使ED=AD,连接CE.AD是△ABC的中线，.BD=CD.在△ABD和 BD=CD, △ECD中，∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD(SAS).∴.AB=EC.在△ACE AD=ED, 中，AC+EC>AE,∴.AC+AB>2AD;(2)在△ACE中，AC-CE<AE<AC+ CE,∴AC-AB<2AD<AC+AB,即<AD<7生5,1<AD<6.4.证 明：延长CE至F,使EF=CE,连接DF.,CE是△ACD的中线，∴.AE=DE.在 (AE=DE, △ACE和△DFE中， ∠AEC=∠DEF,∴.△ACE≌△DFE(SAS).∴.∠A= CE=FE, 181