2017-2018学年高中数学人教版选修1-1（课件+检测）:3.4生活中的优化问题举例 （2份打包）

第三章 导数及其应用 3.4 生活中的优化问题举例 A级　基础巩固 一、选择题 1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　) A. cm2 B．4 cm2 C．3 cm2 cm2 D．2 解析：设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝(cm2)．[(x－2)2＋4]≥2(4－x)2＝x2＋ 答案：D 2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300＜x≤390时，P′(x)＜0，所以当x＝300时，P(x)最大． 答案：D 3．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为(　　) A．2和6 B．4和4 C．3和5 D．以上都不对 解析：设一个数为x，则另一个数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0，所以当x＝4时，y取得极小值，也是最小值． 答案：B 4．做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　) A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m 解析：设底面边长为x m，高为h m．则有x2h＝256， 所以h＝.所用材料的面积设为S m2， 则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2.S′＝＋x2＝ 2x－＝4(m)．，令S′＝0得x＝8，因此h＝ 答案：C 5．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面正三角形的边长为(　　) A. B. C. D．2 解析：设底面正三角形的边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin 60°·l， 所以l＝时，表面积最小．，＋∞)时，S′表>0，所以x＝)时，S′表<0；x∈(，又当x∈(0，＝0，得x＝x－.令S′表＝x2＋，所以S表＝x2·sin 60°＋3·x·l＝ 答案：C 二、填空题 6．某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大． 解析：由题意知，利润S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(30≤x≤200)，所以S′(x)＝－2x＋230，令S′(x)＝0，解得x＝115.当30≤x＜115时，S′(x)＞0；当115＜x≤200时，S′(x)＜0，所以当x＝115时，利润S(x)取得极大值，也是最大值． 答案：115 7．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设广场的长为x米，则宽为， (x＞0)，所以y′＝2米，于是其周长为y＝2 令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800. 当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 答案：800 8．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 解析：设圆柱的底面半径R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．，令S′表＝2πR－.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π· 答案：3 三、解答题 9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料最少？ 解：依题意，有xy＋＝8， · 所以y＝)， (0<x<4－＝ 于是框架用料长度为 l＝2x＋2y＋2·.x＋＝ l′＝.－＋ 令l′＝0，即＝0， －＋ 解得x1＝8－4－8(舍去)．，x2＝4 当0<x<8－4时，l′<0； 当8－4时，l′>0， <x<4 所以，当x＝8－4时，l取得最小值． 此时，x＝8－4≈2.343，y≈2.828. 即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省． 10．现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组