2017-2018学年人教版数学选修2-2课件+练习:1.3　导数在研究函数中的应用 （6份打包）

课时跟踪检测(五)　函数的单调性与导数 一、选择题 1．函数y＝(3－x2)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0)　　　　　　　 B．(0，＋∞) C．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1) 解析：选D　y′＝－2xex＋(3－x2)ex＝(－x2－2x＋3)ex，令(－x2－2x＋3)ex＞0，由于ex＞0，则－x2－2x＋3＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)． 2．y＝xln x在(0,5)上是(　　) A．单调增函数 B．单调减函数 C．在上增 上减，在 D．在上减 上增，在 解析：选C　∵y′＝x′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋1， ∴当0＜x＜时，ln x＜－1，即y′＜0， ∴y在上为减函数． 当＜x＜5时，ln x＞－1，即y′＞0， ∴y在上为增函数． 3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a>0)，则f(x)为R上的增函数的充要条件是(　　) A．b2－3ac>0 B．b>0，c>0 C．b＝0，c>0 D．b2－3ac≤0 解析：选D　∵a>0，f(x)为R上的增函数， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0对x∈R恒成立， ∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0， ∴b2－3ac≤0. 4．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是(　　) A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b) B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b) C．f(x)≥g(x) D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a) 解析：选B　据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为单调递减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)． 5．已知函数y＝xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　) 解析：选C　当0<x<1时，xf′(x)<0，∴f′(x)<0，故y＝f(x)在(0,1)上为减函数；当x>1时，xf′(x)>0，∴f′(x)>0，故y＝f(x)在(1，＋∞)上为增函数，因此A、B、D选项错误，故选C. 二、填空题 6．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝________，c＝________. 解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1＜x＜2是不等式f′(x)＜0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程，解得b＝－，c＝－6. 答案：－　－6 7．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f′(x)＝1－2cos x＞0，则cos x＜. ＜x＜π，所以函数的单调递增区间为.又∈(0，π)，解得 答案： 8．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是________． 解析：若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b＞0. 答案：(0，＋∞) 三、解答题 9．若函数f(x)＝ax3＋x－5在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． 解：f′(x)＝3ax2＋1. ①当a＝0时，f(x)＝x－5在R上是单调递增的； ②当a≠0时，f′(x)＝0的根为有限个，因此要使函数f(x)在R上单调递增，只需f′(x)＝3ax2＋1≥0在R上恒成立即可， 则所以a>0. 即 综上可知，实数a的取值范围是[0，＋∞)． 10．设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2. (1)若a＝，求f(x)的单调区间； (2)若当x≥0时f(x)≥0，求实数a的取值范围． 解：(1)a＝x2， 时，f(x)＝x(ex－1)－ f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)． 当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0； 当x∈(－1,0)时，f′(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． (2)f(x)＝x(ex－1－ax)． 令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a. 若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0； 若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意，故实数a的取值范围为(－∞，1]． $$