2017-2018学年人教版数学选修2-2课件+练习:1.4　生活中的优化问题举例 （2份打包）

课时跟踪检测(八)　生活中的优化问题举例 一、选择题 1．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为s＝t3－2t2，那么速度为0的时刻是(　　) A．1秒末　　　　　　 　B．0秒 C．2秒末 D．0秒或1秒末 解析：选D　由题意可得t≥0，且s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1，故选D. 2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为(　　) A．2和6 B．4和4 C．3和5 D．以上都不对 解析：选B　设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小． 3．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为(　　) A.RR和R B.和 C.R D．以上都不对 R和 解析：选B　设矩形的宽为x，则长为2 . (0＜x＜R)，l′＝2－，则l＝2x＋4 令l′＝0，解得x1＝R(舍去)． R，x2＝－ 当0＜x＜R＜x＜R时，l′＜0， R时，l′＞0；当 所以当x＝R. R，R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为 4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品的零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润(毛利润＝销售收入－进货支出)为(　　) A．30元 B．60元 C．28 000元 D．23 000元 解析：选D　设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20) ＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)， 此时L(30)＝23 000. 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0， 所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 5．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为(　　) A．32米，16米 B．30米，15米 C．40米，20米 D．36米，18米 解析：选A　设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512， 则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y＞0)， 求导数，得l′＝2－. 令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)． 当0＜y＜16时，l′＜0； 当y＞16时，l′＞0. 所以y＝16是函数l＝2y＋＝32. (y＞0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝ 所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 二、填空题 6．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米． 解析：设广场的长为x米，则宽为. (x＞0)，所以y′＝2米，于是其周长为y＝2 令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800. 当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0. 所以当x＝200时，y取得最小值，故其周长至少为800米． 答案：800 7．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为________ cm. 解析：设该漏斗的高为x cm，体积为V cm3，则底面半径为时，V取得最大值． ＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V′＞0；当(舍去)．当0＜x＜，x2＝－π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝π(400x－x3)(0＜x＜20)，则V′＝πx(202－x2)＝ cm，V＝ 答案： 8．如下图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________． 解析：设CD＝x，则点C的坐标为， 点B的坐标为， ∴矩形ABCD的面积 S＝f(x)＝x· ＝－＋x，x∈(0,2)． 由f′(x)＝－x2＋1＝0， 得x1＝－， (舍去)，x2＝ ∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的， x∈时，f′(x)＜0，f(x)是递减的， 当x＝. 时，f(x)取最大值 答案： 三、解答题 9．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车的投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例