新疆喀什泽普二中2017年暑假初高中数学衔接教材:第五章二次函数第二节二次函数的三种表示方式

第二节二次函数的三种表示方式 通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x-h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(h，k)． 除了上述三种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数． 当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0． ① 并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系： （1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立． （2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立． （3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立． 于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ， 即 ＝－(x1＋x​2)， ＝x1x2． 所以，y＝ax2＋bx＋c＝a( ) = a[x2－(x1＋x​2)x＋x1x2] ＝a(x－x1) (x－x2)． 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)． 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1