新疆喀什泽普二中2017年暑假初高中数学衔接教材:第四章一元二次方程第三节一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

第三节一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 牟树江 一、初高中知识点链接 知识点 初中 高中 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程根与系数的关系 圆锥曲线与直线的弦长， 二、知识回顾 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根分别是: ， ， 则有 ； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x​2＝ ，x1·x2＝ ．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x​2＝－p，x1·x2＝q， 即 p＝－(x1＋x​2)，q＝x1·x2， 所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0．因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2－(x1＋x​2)x＋x1·x2＝0． 例1. 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值． 解法一：∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0， ∴k＝－7． 所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－ ． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－ ，∴x1＝－ ． 由 （－ ）＋2＝－ ，得 k＝－7． 所以，方程的另一个根为－ ，k的值为－7． 例2. 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设x1，x