初中奥数竞赛培优专题讲座：专题十一 数形结合（PDF版）

+-、数形姑合 十一、数形结合 [竞赛要点] 数学研究的对象是现实世界中的数量关系与空间形式,简单地说就是“数”与“形” 对现实世界的事物,我们既可以从“数”的角度来研究,也可以从“形”的角度来探讨,我 们在研究“数”的性质时,离不开“形”;而在探讨“形”的性质时也可以借助于“数”,我们 把这种由数量关系来研究图形性质,或由图形的性质来探讨数量关系,即这种“数”与 “形”相互转化的解决数学问题的思想叫做数形结合思想 [方法述要] 利用数形结合解决数学问题,常有下列若干途径: 1.借助于平面直角坐标系解代数问题; 2.借助于图形、图表解代数问题; 3.借助于方程(组)或不等式(组)解几何问题 4.借助于函数解几何问题 / [赛题精析] b 例1当a取遍0到5的所有实数值时,求满足3b 初中数学竞赛培优教程,专题讲座 a(3a-8)的整数b的个数 解先作出b=a2-3a(0≤a≤5)的图像,如图1-1所 图1 示,由图像可知,当0≤a≤5时,b的最小值为 16 b的最大值为5 ×5 在 1635 与之间共有13个整数,故整数b的个数为13 例2求√x2+1+√(4-x)2+4的最小值 解构造如图11-2所示的Rt△PCA,Rt△PDB,使AC=1,BD=2,PC=x,CD =4,且PC,PD在直线l上,则所求最小值转化为“在直线l上求一点P,使PA+PB ①D +-、数形结合 E,F6个机场,如图11-12 A 由已知条件知,A到O的距离小于A到其他机场的距离,即 OA<AB.同理,OB<AB 所以在△ABO中,AB是最大边,故∠AOB>60 同理,∠BOC>60°,∠COD>60°,∠DOE>60°,∠EOF> 60°,∠FOA>60° 图11-12 于是周角大于360°,不成立,因此假设不成立,即任一机场降落的飞机不会超过5 架 说明本例用点线段把机场、航线直观地表示出来,然后在直观图形的帮助下,得 出角的数量关系,完成命题证明这是一个用数形结合方法解决实际问题的典型例子 例12证明:用15块1×4的矩形瓷砖和1块2×2的矩形瓷回国2图 砖不可能恰好铺满8×8的矩形地面 口230口230 23012301 证明先在8×8矩形地面的每一个1×1正方形中依次标上o2|o2 数0,1,2,3,如图113于是对于每一块1×4瓷砖,无论怎样铺2d2ad 法,所盖住的4个