初中奥数竞赛培优专题讲座：专题一 奇数与偶数（PDF版）

一奇数与偶数 奇数与偶数 [竞赛要点 整数可以分为两类:能被2整除的整数,称为偶数;不能被2整除的整数,称为奇 数.换句话说,0,±2,±4,±6,±8,±10,…,称为偶数;±1,±3,±5,±7,±9,±1 ,称为奇数 偶数的一般形式是2n,其中n是整数奇数的一般形式是2n-1(或2n+1),其中 n是整数注意,现在的奇数包括正奇数与负奇数.偶数包括正偶数、负偶数和零.零是 偶数,因为它能被2整除 [方法述要] 偶数就是奇数 2.奇数≠偶数; 3.奇数±奇数=偶数,偶数±偶数=偶数,奇数±偶数=奇数 4.奇数×奇数=奇数,整数×偶数=偶数; 初中数学竞赛培优教程专 1整数可分为奇数和偶数两类,一个整数不是奇数就是偶数,反之,一个整数不是数 5.两个连续整数,必然有一个是奇数,另一个是偶数; 6两个整数的和与差的奇偶性相同; 7.整数a与a"(n为正整数)的奇偶性相同 [赛题精析] 例1已知x,y,z中有两个奇数和一个偶数,求证:(x+1)(y+2)(x+3)一定是 偶数 证法一因为x,y,z中有两个奇数和一个偶数,则x和z中至少有一个是奇数 当x是奇数时,x+1是偶数,则(x+1)(y+2)(z+3)是偶数;当z是奇数时,z+3是 偶数,则(x+1)(y+2)(x+3)是偶数故(x+1)(y+2)(z+3)一定是偶数 证法二因为x,y,z中有两个奇数和一个偶数,则x+y+z是偶数,从而 (x+1)+(y+2)+(z+3)=(x+y+z)+6为偶数所以x+1,y+2,z+3中至少有 个是偶数,即(x+1)(y+2)(x+3)一定是偶数 例2将图1-1中的圆圈任意涂上红色或蓝色,问有无可能使得在同一直线上的 奇数与偶数y 红圈数都是奇数?请说明理由 解假设能够使同一条直线上的红圈数都是奇数 图中一共有5条直线将这5条直线上的红圈数相加,所得 的和仍然是奇数但每一个红圈恰好属于两条直线,所以在上面 所说的和中,每一个红圈都被计算了两次,和应当是红圈总数的 两倍,因而是一个偶数 以上所得的结果矛盾,这表明不可能使同一条直线上的红圈 数都是奇数 图1-1 例3已知x1,x2,…,xn都是+1或-1,n≥4并且x1x2x3x4+x2x3x4x5+… +xnx1x2x3=0.求证:n是4的倍数 证明因为x1,x2,…,xn都是+1或-1,则x1x2x3x4,x2x3x4x5,