2017-2018学年人教版高中数学必修二课件+高效演练:1.3 空间几何体的表面积与体积 （4份打包）

第一章　空间几何体 1．3　空间几何体的表面积与体积 1．3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积 [学习目标]　1.了解柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式的推导过程，会用公式求简单几何体的表面积和体积(重点)．　2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并能利用它求几何体的表面积(易混、易误点)．　3.利用柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式解决实际问题(难点)． [知识提炼·梳理] 1．棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面体，因此它们的表面积等于各个面的面积之和，也就是展开图的面积． 2．圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πrl＋2πr2 圆锥 底面积：S底＝πr2 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝πrl＋πr2 圆台 底面积：S底＝π(r′2＋r2) 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl) 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 3.柱体、锥体、台体的体积 (1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh． (2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝eq \f(1,3)Sh. (3)台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则体积V＝eq \f(1,3)(S＋eq \r(SS′)＋S′)h. [思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．(　　) (2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．(　　) (3)圆台的高就是相应母线的长(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　) A．4π　　　　B．3π　　　　 C．2π　　　　D．π 解析：底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π. 答案：C 3．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2　 B．1∶eq \r(3)　　C．1∶eq \r(5)　　　D.eq \r(3)∶2 解析：设圆锥的高为h，由h＝2r，则l＝eq \r(r2＋h2)＝eq \r(5)r. 所以S底＝πr2，S侧＝πrl＝eq \r(5)πr2 故S底∶S侧＝πr2∶eq \r(5)πr2＝1∶eq \r(5). 答案：C 4．正方体的表面积为96，则棱长a＝________． 解析：由S表＝6a2＝96，得a＝4. 答案：4 5．已知棱台的上、下底面面积分别为4、16，高为3，则该棱台的体积为________． 解析：因为S上底＝4，S下底＝16，h＝3. 所以台体＝eq \f(1,3)(4＋16＋eq \r(4×16))×3＝28. 答案：28 类型1　柱体、锥体、台体的表面积(自主研析) [典例1]　已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分)上底面边长为4，侧棱和下底面边长都是8，求它的侧面面积． 解：设正四棱台为ABCD­A1B1C1D1，如图．设B1F为斜高． 在Rt△B1FB中，因为BF＝eq \f(1,2)×(8－4)＝2，B1B＝8， 所以B1F＝2,1)eq \r(BB－BF2) ＝eq \r(82－22)＝2eq \r(15)， 所以S正棱台侧＝4×eq \f(1,2)×(4＋8)×2eq \r(15)＝48eq \r(15). 归纳升华 1．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 2．多面体的表面积一般是分解转化为各个面的面积之和． 3．结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点，解决此类问题的关键是正确地观察三视图，把它们还原为直观图，特别要注意从三视图中得到几何体的相关量，再结合表面积公式求解． [变式训练]　圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，求圆台的表面积． 解：如图所示，设圆台的上底面周长为c cm，由于扇环的圆心角是180°，则c＝π·SA＝2π×10，解得SA＝20(cm)． 同理可得SB＝40(cm)， 所以AB＝SB－SA＝20(cm)． 所以S表＝S侧＋S上＋S下＝ π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝ 1 100π(cm2)． [典例2]　(1)如下图所示，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，截下一个棱锥C­A′DD′，求棱锥C­A′DD′的体积与剩余部分的体积之比． 类型2　柱体、锥体、台体的体积(互动探究) (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16eq \r(2)π，则圆锥的体积是(　　) A.eq \f(64π,3)　　　B.eq \f