[]安徽省阜阳市临泉县第一中学2016-2017学年高二下学期学科竞赛数学（理）试题

1 2016－2017 临泉第一中学高二下学期学科竞赛 理科数学试题参考答案 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案 B C D B B C C A D B A C 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 1 2i ． 14. 3． 15.跑步． 16. 1, . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70 分） 17.(本小题满分 10 分) [解](1)列联表如下 休闲方式为看电视 休闲方式为运 动 合计 女性 43 27 70 男性 21 33 54 合计 64 60 124 (2)           2 2 n ad bck a b c d a c b d       ＝ 124×8522 14 515 200 ≈6.201＞5.024， 有 97.5%的把握认为休闲方式与性别有关． 18.(本小题满分 12 分) [解]（1）抽取产品的质量指标值的样本平均值 x和样本方差 2s 分别为 170 0.02 180 0.09 190 0.22x        200 0.33 210 0.24 220 0.08      230 0.02 200  ， 2 2 2 2 2 2 2( 30) 0.02 ( 20) 0.09 ( 10) 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.0 8 30 0.02s                  150 ． （2）①由（1）知， Z服从正态分布 (200,150)N ， 从而  187.8 212.2P Z  (200 12.2 Z 200P    12.2) 0.6826  ． ②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间  187.8,212.2 的概率为0.6826， 依题意知 (100,0.6826)X B ， 所以 100 0.6826 68.26EX    ． 2 19．(本小题满分 12 分) [解]（1） X 可能的取值为 0，1，2，3． ( )0P X＝ 22 34 2 2 5 5 18 9 100 50 CC C C     ； ( )1P X＝ ＝ C 1 4 C 2 5 · C 2 3 C 2 5 ＋ C 2 4 C 2 5 · C 1 3·C 1 2 C 2 5 ＝ 12 25 ( )2P X＝ ＝ C 1 4 C 2 5 · C 1 3·C 1 2 C 2 5 ＋ C 2 4 C 2 5 · C 2 2 C 2 5 ＝ 3 10 ( )3P X＝ ＝ C 1 4 C 2 5 · C 2 2 C 2 5 ＝ 1 25 ． 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 9 50 12 25 3 10 1 25 故 9 12 3 1 60 1 2 3 50 25 10 25 5 EX          ． (2)所求的概率为 P＝P( X ≥2)＝P( X ＝2)＋P( X ＝3)＝ 15 50 ＋ 1 25 ＝ 17 50 20．(本小题满分 12 分) [解]（1）由已知得 2 1( ) ( 0)axf x a ax    当 2a  时， 1(1) 2 f   ， 所以函数 ( )y f x 的图像在点 11, 2       处的切线方程为 2 0x y  . （2）∵ 2 1)( ax axxf  3 ∴ )(xf 在定义域 ),0(  上满足 )(xf 在 ]1,0( a 上是减函数，在 ),1[  a 是增函数 (1) 当 2a 时， 1 1( , 2) [ , ) 2 a   ， ∴ )(xf 在 )2, 2 1( 上是增函数 (2) 当 2 10  a 时， 1 1( , 2) (0, ] 2 a  ， ∴ )(xf 在 )2, 2 1( 上是减函数 (3) 当 2 2 1  a 时， )2, 2 1(1  a ， ∴ )(xf 在 ]1, 2 1( a 上是减函数， )(xf 在 )2,1[ a 上是增函数 21.(本小题满分 12 分) [解](1)当 1a b  时， ( ) 1 1 0xf x e x     令 1xy e x   则只需证明： m x 0iy  ' 1xy e  当 x变化时，    xfxf , 的变化情况如下： x  ,0 0  0, 'y  0  y ↘ 极小 值 ↗ 0 m x 0 1