2017-2018学年高中数学（苏教版 选修2-2）（课件+检测+教师用书）：1.4导数在实际生活中的应用 (3份打包)

学业分层测评(八) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 【解析】　因为y′＝－x2＋81，令y′＝0，得x＝9. 当0<x<9时，y′>0； 当x>9时，y′<0. 故当x＝9时，函数有极大值，也是最大值． 【答案】　9 2．做一个无盖的圆柱形水桶，若需使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________． 【解析】　设半径为r，则高h＝， ∴S＝2πr·h＋πr2＝2πr·＋πr2. ＋πr2＝ 令S′＝2πr－＝0，得r＝3， ∴当r＝3时，用料最省． 【答案】　3 3．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为________． 【解析】　设直棱柱的底面边长为a，高为h， 依题意，. a2·h＝V，∴ah＝ 因此表面积S＝3ah＋2·a2. ＋a2＝ ∴S′＝. ，由S′＝0，得a＝a－ 易知当a＝时，表面积S取得最小值． 【答案】　 4．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2.则最大毛利润为______元．(毛利润＝销售收入－进货支出) 【解析】　设毛利润为L(p)由题意知： L(p)＝pQ－20Q＝(8 300－170p－p2)(p－20) ＝－p3－150p2＋11 700p－166 000， 所以，L′(p)＝－3p2－300p＋11 700. 令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)． 此时，L(30)＝23 000. 因为在p＝30附近的左侧L′(p)>0，右侧L′(p)<0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元． 【答案】　23 000 5．为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长为a米，高为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60平方米，问当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)． 图1­4­4 【解析】　设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝. ，其中k(k>0)为比例系数．依题意，即所求的a，b值使y值最小，根据题设，4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)得b＝ 于是y＝.(0<a<30) ＝＝ 令y′＝＝0 得a＝6或a＝－10(舍去)． ∵只有一个极值点，∴此极值点即为最值点． 当a＝6时，b＝3，即当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 6．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新墙壁，当砌新墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为______. 【导学号：01580022】 【解析】　设矩形堆料场中与原有的墙壁平行的一边的边长为x米，其他两边的边长均为y米，则xy＝512. 则所用材料l＝x＋2y＝2y＋(y>0)， 求导数，得l′＝2－. 令l′＝0，解得y＝16或y＝－16(舍去)． 当0<y<16时，l′<0；当y>16时，l′>0.所以y＝16是函数l＝2y＋＝32. (y>0)的极小值点，也是最小值点．此时，x＝ 所以当堆料场的长为32米，宽为16米时，砌新墙壁所用的材料最省． 【答案】　32米　16米 7．如图1­4­5，将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． 图1­4­5 【解析】　设DE＝x，则梯形的周长为3－x， 梯形的面积为(1－x2)， (1－x)＝(x＋1)· ∴s＝，x∈(0,1)， ·＝ 设h(x)＝. ，h′(x)＝ 令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)， ∴h(x)最小值＝h＝8， ∴s最小值＝. ×8＝ 【答案】　 8．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，当行驶每千米的费用总和最小时，此轮船的航行速度为__________km/h. 【解析】　设轮船的速度为x km/h时，燃料费用为Q元，则Q＝kx3(k≠0)． 因为6＝k×103，所以k＝x3. ，所以Q＝ 所以行驶每千米的费用总和为 y＝(x>0)． x2＋＝· 所以y′＝.令y′＝0，解得x＝20. x－ 因为当x∈(0,20)时，