2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.2.2常见曲线的极坐标方程 (6份打包)

学业分层测评(六) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．过椭圆＝1的左焦点引一条直线与椭圆自上而下交于A、B两点，若FA＝2FB，求直线l的斜率． ＋ 【解】　椭圆＝1中，a＝5，b＝3，c＝4， ＋ 所以e＝. ＝，p＝ 取椭圆的左焦点为极点，x轴正方向为极轴正方向，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为ρ＝. ＝ 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，π＋θ)．由题设得ρ1＝2ρ2.于是.，即直线l的斜率为，所以tan θ＝，解得cos θ＝＝2× 2．已知椭圆方程为ρ＝，过左焦点引弦AB，已知AB＝8，求△AOB的面积． 【解】　如图，设A(ρ1，θ)、 B(ρ2，θ＋π)． 所以ρ1＋ρ2＝＋ . ＝ 因为AB＝8， 所以＝8， 所以cos2θ＝. ，sin θ＝ 由椭圆方程知 e＝，则c＝3. ＝，＝ S△AOB＝S△AOF＋S△BOF＝OF·ρ2·sin θ＝8.OF·ρ1·sin θ＋ 3．如图4­2­4，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB与x轴斜交，M为AB的中点，MN⊥AB，并交对称轴于N. 图4­2­4 求证：MN2＝AF·BF. 【证明】　取F为极点，Fx为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为ρ＝. 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)，则 AF·BF＝. ＝· 不妨设0＜θ＜(ρ1－ρ2) ，则MF＝ ＝. )＝－( 所以MN＝MF·tan θ ＝. tan θ＝ 所以MN2＝AF·BF. 4．如图4­2­5，已知圆F：x2＋y2－4x＝0，抛物线G的顶点是坐标系的原点，焦点是已知圆的圆心F，过圆心且倾斜角为θ的直线l与抛物线G、圆F从上至下顺次交于A、B、C、D四点． 图4­2­5 (1)当直线的斜率为2时，求AB＋CD； (2)当θ为何值时，AB＋CD有最小值？并求这个最小值． 【解】　圆F：x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径为2，所以抛物线的焦点到准线的距离为4. 以圆心F为极点，Fx为极轴建立极坐标系．则圆F的坐标方程为ρ＝2，抛物线G的极坐标方程为ρ＝. 设A(ρ1，θ)、D(ρ2，θ＋π)，所以AB＝AF－2，CD＝FD－2，即AB＋CD＝AF＋FD－4＝ρ1＋ρ2－4＝－4. －4＝－4＝＋－4＝＋ (1)由题意，得tan θ＝2，所以sin2θ＝. 所以AB＋CD＝－4＝6. (2)AB＋CD＝－4， 当sin2θ＝1， 即θ＝时△ABF2的面积取到最小值4. 5．已知抛物线ρ＝，过焦点作互相垂直的极径FA、FB，求△FAB的面积的最小值． 【解】　设A(ρ1，θ)、B，则 ρ1＝. ＝，ρ2＝ △FAB的面积为 S＝··ρ1ρ2＝ ＝ ＝. 设t＝sin θ－cos θ，则sin θcos θ＝. 所以1－cos θ＋sin θ－sin θcos θ＝1＋t－(t＋1)2. ＝ 又t＝sin θ－cos θ＝]， ，∈[－sin 所以当t＝.时，△FAB的面积S有最小值，即θ＝ 6．已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆短轴的一个顶点，且∠F1PF2＝90°. (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，且△ABF2的面积的最大值为12，求椭圆C的方程． 【导学号：98990017】 【解】　(1)因为∠F1PF2＝90°，所以PF. ＝，即a2＋a2＝4c2.所以e＝＝F1F＋PF (2)以椭圆的左焦点F1为极点，Fx为极轴建立极坐标系，设椭圆的方程为 ρ＝. ＝ 设A(ρ1，θ)、B(ρ2，θ＋π)， 则AB＝AF＋FB＝ρ1＋ρ2 ＝＋ ＝. ＝＋ 因为F1F2＝2c，所以△ABF2的边AB上的高h为2c|sin θ|，△ABF2的面积S＝＝·AB·h＝ ＝. 因为＋|sin θ|≥2， 所以当|sin θ|＝1， 即θ＝时S取到最大值． 或θ＝ 所以当l过左焦点且垂直于极轴时，△ABF2的面积取到最大值. pc＝12，即b2＝6pc，所以 故a2－c2＝6， ＝.又 所以a2＝12. ，c2＝6 所求椭圆的方程为 ＝1.＋ 7．已知椭圆＝1，P是l上一点，射线OP交椭圆于R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． ＋＝1，直线l：＋ 【解】　如图，以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，则： 椭圆的极坐标方程为ρ2＝， 直线l的极坐标方程ρ＝. 由于点Q、R、P在同一射线上，可设点Q、R、P的极坐标分别为(ρ，θ)、(ρ1，θ)、(ρ2，θ)，依题意，得 ρ，①＝ ρ2＝.② 由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρ·ρ2＝ρ(ρ≠0)． 将①②代入， 得ρ·， ＝ 则ρ＝(ρ≠0)． 这就是点Q的轨迹的极坐标方程， 化为直角坐标方程，