2017-2018学年高中数学（苏教版 选修4-4）（课件+检测+教师用书）：4.2.1　曲线的极坐标方程的意义 (3份打包)

学业分层测评(四) (建议用时：45分钟) [学业达标] 1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： (1)射线y＝x(x≤0)； (2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)． 【解】　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝x， 得ρsin θ＝ρcos θ， ∴tan θ＝. 或θ＝，∴θ＝ 又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝， ∴射线y＝(ρ≥0)． x(x≤0)的极坐标方程为θ＝ (2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0， 即ρ(ρ＋2acos θ)＝0， ∴ρ＝－2acos θ， ∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为 ρ＝－2acos θ. 2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程： (1)ρ＝；(2)ρ2＝tan θ. 【解】　(1)由ρcos θ＝5，得x＝5. (2)x2＋y2＝(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0. 3．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，曲线C1，C2相交于A，B两点． (1)把曲线C1，C2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB的长度． 【导学号：98990011】 【解】　(1)曲线C2：θ＝(ρ∈R)表示直线y＝x； 曲线C1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x2＋y2＝6x，即(x－3)2＋y2＝9. (2)因为圆心C1(3,0)到直线的距离d＝.，r＝3，所以弦长AB＝3 4．求点A＝－2的距离． 到直线l：ρsin 【解】　A(2，)， )的直角坐标为(1， l：ρsin(θ－cos θ)＝－2. sin θ－)＝－2，ρ( 即： x－y－4＝0. 故A(1，＝3.y－4＝0的距离为)到l：x－ 5．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 【解】　(1)由ρcos(θ－sin θ)＝1， cos θ＋)＝1得ρ( 即x＋y＝2， 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． 当θ＝)． ，，所以N(时，ρ＝ (2)∵M的直角坐标为(2,0)， N的直角坐标为(0，)． ∴P的直角坐标为(1，)， P的极坐标为()． ， 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)． 6．在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于Q点，求Q点的轨迹方程． 【解】　以圆心O为极点，x轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1,2θ)． 因为S△OAQ＋S△OQP＝S△OAP. 即·1·ρ·sin θ·3·ρ·sin θ＋ ＝·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝cos θ. 7．在极坐标系中，圆C：ρ＝10cos θ和直线l：3ρcos θ－4ρsin θ－30＝0相交于A、B两点，求线段AB的长． 【解】　分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2＋y2＝10x，即(x－5)2＋y2＝25，圆心C(5,0)； 直线l：3x－4y－30＝0，因为圆心C到直线l的距离d＝＝8.＝3，所以AB＝2 [能力提升] 8．在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，试求PQ的最大值． 【解】　∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x2＋y2－12y＝0， 即x2＋(y－6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－)， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos)， ＋sin θsin ∴x2＋y2－6x－6y＝0， ∴(x－3)2＋(y－3)2＝36. ∴PQ的最大值为6＋6＋＝18. 4 $$ 4.2.1　曲线的极坐标方程的意义 1．理解曲线的极坐标方程的意义． 2．掌握求曲线的极坐标方程的基本方法和一般步骤． 3．掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． [基础·初探] 1．曲线的极坐标方程 一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0；并且，极坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线． 2．求曲线的极坐标方程的基本步骤 (1)建系(建立适当的极坐标系)； (2)设点(在曲线上任取一点P(ρ，θ)，使点与坐标对应)； (3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)； (4)化简(用极坐标ρ，θ表示上述等式，