2017-2018学年高中数学（人教B版 选修2-2）（课件+检测+教师用书）：2.2直接证明与间接证明 (6份打包)

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．实数a，b，c不全为0等价于(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 【解析】　“不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”． 【答案】　D 2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 【解析】　依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A. 【答案】　A 3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为 (　　) A．一定是异面直线　　　 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 【解析】　假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C. 【答案】　C 4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋的值(　　) ，c＋，b＋ 【导学号：05410049】 A．都大于2 B．至少有一个不大于2 C．都小于2 D．至少有一个不小于2 【解析】　假设a＋＝6，故二者相矛盾．所以假设不成立．＋2＋2≥2＋＋＝＋＋<6，而＋c＋＋b＋三个数都小于2，则必有a＋，c＋，b＋ 【答案】　D 5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是(　　) A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角 【解析】　“最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C. 【答案】　C 二、填空题 6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是____________________________________________________________． 【解析】　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形． 【答案】　没有一个面是三角形或四边形或五边形 7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2. 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)． 【解析】　假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1. 则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③. 【答案】　③ 8．完成反证法证题的全过程． 题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数． 证明：假设p为奇数，则__________均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)为__________．② 而(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝__________.③ ②与③矛盾，故p为偶数． 【解析】　由假设p为奇数可知(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数， 故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) ＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数， 这与0为偶数矛盾． 【答案】　①a1－1，a2－2，…，a7－7　②奇数　③0 三、解答题 9．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根． 【证明】　假设x0是f(x)＝0的负数根， 则x0<0且x0≠－1且ax0＝－， 由0<ax0<1⇒0<－<1， 解得<x0<2，这与x0<0矛盾，所以假设不成立， 故方程f(x)＝0没有负数根． 10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于. 【证明】　假设a，b，c都小于等于， 即a≤. ，c≤，b≤ ∵abc＝1，∴a，b，c三数同为正或一正两负． 又a＋b＋c＝0， ∴a，b，c只能是一正两负， 不妨设a＞0，b＜0，c＜0. 则b＋c＝－a，bc＝， ∴b，c为方程x2＋ax＋＝0的两根， ∴Δ＝a2－≥0，即a3≥4. ∴a≥ 矛盾， ，这与a≤＝＞ ∴a，b，c中至少有一个大于. [能力提升] 1．下列命题运用“反证法”证明正确的是(　　) A．命题：若a>b>0，则成立 >，则a<b，与已知a>b矛盾．故假设不成立，结论<.若<不成立，则>.用反证法证明：假设> B．命