2.2 直接证明与间接证明（教案）-2020年高中同步教与学数学（人教B版选修2-2）

高中同步教与学·全新教案(活页) 第二章推理与证明 2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法与分析法(1课时 教学◆目标》 情感、态度与价值观 通过综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性 知识与技能 理解综合法和分析法的概念及它们的区别,能熟练地运用 重点●难点 综合法、分析法证题 重点 过程与方法 综合法与分析法. 通过分析法与综合法的学习,体会两种方法的相辅相成、辩难点 证统一的关系 用综合法与分析法证明题目 《>案例(-) 教学。过程》 一、复习 解答(1)要证四边形EFGH为平行四边形,只需证明两组 设计意图:通过复习,引入新课 对边分别平行(或一组对边平行且相等)即可.(2)根据题意可 师]证明的方法的哪些? 知,截面EFGH的周长即为平行四边形EFGH的周长,所以该 生]讨论回答 周长为2(HE+HG),而HE+HG可利用平行截割定理求得为 二、引入新课 a,所以四边形EFGH的周长为定值. 1.综合法 教师适当引入,学生自己解答. 知识点剖析] 2.分析法 综合法是中学数学证明中最常用的方法,它是从已知到未知识点剖析] 知,从题设到结论的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已 分析法也是数学证明中常用的一种直接证明方法,它先假 证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证设所要求证明的命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结 的命题.综合法是一种由因索果的证明方法 论成立的必要的判断,而当这些判断恰恰都是已知的命题(定 综合法的证明步骤用符号表示是 义、公理、定理、法则、公式等)时,命题得证 P(已知)→P1→P2→…→Pn(结论). 分析法是一种执果索因的证明方法,用分析法证明的逻辑 [跟踪例题] 关系是:B(结论)<B1<B2<…<Bn<A(已知) 教师让2名学生板书,其他在练习本上做 跟踪例题 例1已知:a、b、c三数成等比数列,且x,y分别为a,b和b 例3证明 1-sec A+tan a sec A+ a-1 c的等差中项 1+sec A-tan A sec A+tan A+1 求证:+= 解析本题式子比较复杂,直接用综合法证明,思路不太明 显,故采用分析法 证明依题意,a,b,c成等比数列 证明要证明 A+tan a+ 只需证明 又由题设:x=4+ (I+tan A-sec A).(l-+tan A+sec A)=(sec A 2c2(b+c) 即证(1+tanA)2-sec2A=sec2A-(tanA-1)2 ry a+bb+c b+e b+ 即证1+tan2A=sec2A 例2如右图,四边形ABCD是 sinA 空间四边形,截面EFGH平行于AB 所以,只需证明1+ COs A COs A 即证 cOsa+sin2A 1)求证:截面EFGH是平行四边 形;(2)如果AB=CD=a,求证:四边B 只需证明sin2A+cos2A=1,显然成立, 形EFGH的周长为定值 所以 cattan a sec attan a cA+tan A 高中同步教与学·全新教案(活页 [师生小结] 同理a2b2+a2c2≥2a2b,b2c2+b2a2≥2ab2 分析法是数学中常用到的一种直接证明方法.就证明程序 .a b+b222+c2a>abc2+a bc+abc 来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法 由①,②得a4+b+c>abc(a+b+c) 具体说,即先假设所要求证命题的结论是正确的由此逐步推出2.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:2+b>2b+db 保证此结论成立的必要的判断.而当这些判断恰恰都是已证的证明:(用分析法思路书写 命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件 要证a3+b3>a2b+ab2成立 寸,命题得证(应该强调的一点是它不由命题的结论去证明前 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立, 即需证a2-ab+b2>ab成立.(∵a+b>0 分析法和综合法的区别与联系 只需证a2-2ab+b2>0成立 教师让学生总结,最后汇总在一起概括 即需证(a-b)2>0成立 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法.在数学 而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,所以(a-b)2>0显然 解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一成立,由此命题得证 步地探索下去,最后达到题设的已知条件综合法则是从数学题(以下用综合法思路书写) 的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需 ∵a≠b,∴a-b≠0,∴(a-b)2>0,即a2-2ab+b2>0, 求问题.对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表 亦即a2-ab+b2>ab 现为由因导果,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用 由题设条件知,a+b>