2017-2018学年高中数学（人教B版 选修2-1）（课件+检测+教师用书）：3.2空间向量在立体几何中的应用 (12份打包)

学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝(　　) A．4　　 B．－4　　 C．5　　 D．－5 【解析】　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5. 【答案】　D 2．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2) B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) 【解析】　∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故应选D. 【答案】　D 3．已知＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　) ，⊥＝(3,1，z)，若＝(1,5，－2)， A.，4 ，－，4 B．，－ C.，－15 ，－2,4 D．4， 【解析】　∵＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4， ·，∴⊥ 又BP⊥平面ABC，∴， ⊥，⊥ 则解得 【答案】　B 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A．(1，－1,1) B． C. D． 【解析】　对于B，， ＝ 则n·＝0， ＝(3,1,2)· ∴n⊥在平面α内． ，则点P 【答案】　B 5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　) A．圆 B．直线 C．平面 D．线段 【解析】　M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面． 【答案】　C 二、填空题 6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z＝________. 【解析】　由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9. 【答案】　－9 7．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________. 【解析】　由题意，知 解得x＝－64，y＝－26，z＝－17. 【答案】　(－64，－26，－17) 8．若A是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________. ，C，B 【导学号：15460076】 【解析】　因为， ＝ ， ＝ 又因为a·＝0， ＝0，a· 所以 解得 所以x∶y∶z＝＝2∶3∶(－4)． y∶y∶ 【答案】　2∶3∶(－4) 三、解答题 9.如图3­2­19，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF. 图3­2­19 【证明】　以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(. ，1)，M，，0,0)，F(，0)，D(，0)，B(0，， 所以，0)． ，－＝(，1)，＝(0, ，＝ 设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量， 则n⊥， ，n⊥ 所以⇒ 取y＝1，得x＝1，z＝－. 则n＝(1,1，－)． 因为. ＝ 所以n＝－共线． ，得n与 所以AM⊥平面BDF. 10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD. 【证明】　 法一　设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E. 连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为. 因为， ＝＝(0,0,1)， 所以.所以OE∥AS. ＝ 又因为AS⊥平面ABCD， 所以OE⊥平面ABCD. 又因为OE⊂平面BDE， 所以平面BDE⊥平面ABCD. 法二　设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)， 因为， ＝＝(－1,1,0)， 所以即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1,1,0)． 因为AS⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0,0,1)． 因为n1·n2＝0， 所以平面BDE⊥平面ABCD. [能力提升] 1．如图3­2­20，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) 图3­2­20 A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 【解析】　设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1， 则A(1,0,0)，E. ，F 故. ＝，＝ 所以 即所以 当z＝－2时，n＝(－4,1，－