2017-2018学年高中数学（人教B版 选修2-1）（课件+检测+教师用书）：2.4抛物线 (6份打包)

2.4.2　抛物线的几何性质 1．掌握抛物线的几何性质．(重点) 2．掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点) 3．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点) [基础·初探] 教材整理　抛物线的几何性质 阅读教材P61，完成下列问题. 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 图形 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R ________ ________ 对称轴 ________ ________ 顶点 ________ 离心率 ________ 开口方向 向右 向左 向上 向下 【答案】　y≥0，x∈R　y≤0，x∈R　x轴　y轴　(0,0)　e＝1 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线关于顶点对称．(　　) (2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　) (3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)√ [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ [小组合作型] 利用抛物线的性质求抛物线方程 　已知双曲线，求抛物线的标准方程． ＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为－ 【精彩点拨】　由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A，B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程． 【自主解答】　由已知得， ＝＝4，解得＝2，所以 即渐近线方程为y＝±x. 而抛物线准线方程为x＝－， 于是A， ，B 从而△AOB的面积为，可得p＝2.因为抛物线开口向右，所以其标准方程为y2＝4x.＝p·· 抛物线各元素间的关系 抛物线的焦点始终在对称轴上，顶点就是抛物线与对称轴的交点，准线始终与对称轴垂直，准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称，顶点到焦点的距离为. [再练一题] 1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 【解】　椭圆的方程可化为＝1， ＋ 其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 抛物线几何性质的应用 　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长． 【精彩点拨】　先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长． 【自主解答】　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px2. ＝2px1，y 又OA＝OB，所以x， ＋y＝x＋y 即x＋2px1－2px2＝0， －x 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. ∵x1>0，x2>0,2p>0， ∴x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|， 即线段AB关于x轴对称， 由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝＝2px1联立， x1，与y 解得y1＝2p.p，∴|AB|＝2y1＝4 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质． [再练一题] 2．等腰直角三角形AOB内接于抛物线