2017-2018学年高一数学苏教版必修5课件+教师用书+练习：第1章 1.3 正弦定理、余弦定理的应用 (3份打包)

1.3　正弦定理、余弦定理的应用 1．巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤与过程．(重点) 2．能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．(难点) 3．方向角与方位角的区分及应用．(易混点) [基础·初探] 教材整理　方位角 阅读教材P18例2的有关内容，完成下列问题． 方位角是从指北方向顺时针转到目标方向线的角． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方位角和方向角是同一个概念．(　　) (2)从A处望B处的仰角为 α，从B处望A处的俯角为β，则α＝β.(　　) (3)从C地看A，B二人的方位角分别为30°，45°，则∠ACB为75°.(　　) (4)甲看乙南偏东30°，则乙看甲北偏西30°.(　　) 【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ [小组合作型] 正、余弦定理在物理学中的应用 　如图1­3­1，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力． 图1­3­1 【精彩点拨】　先借助向量的合成与分解画出图示，然后借助正弦定理求解． 【自主解答】　如图，作|＝10，∠OCE＝50°，∠OEC＝70°，所以∠COE＝180°－50°－70°＝60°.＝F2.由题设条件可知，|＝F1，＝＝F，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，即作▱OCED，则 在△OCE中，由正弦定理， 得，＝，＝ 因此，|F1|＝≈11.3， |F2|＝≈12.3. 答　灯杆OA所受的拉力为11.3 N，灯杆OB所受的压力为12.3 N. 在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解. [再练一题] 1．作用于同一点的三个力F1，F2，F3平衡．已知F1＝30 N，F2＝50 N，F1与F2之间的夹角是60°，求F3的大小与方向(精确到0.1°)． 【解】　F3应和F1，F2的合力F平衡，所以F3和F在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF1F中，由余弦定理，得 F＝＝70(N)， 再由正弦定理，得 sin∠F1OF＝，＝ 所以∠F1OF≈38.2°，从而∠F1OF3≈141.8°. 答　F3为70 N，F3和F1间的夹角为141.8°. 正、余弦定理在几何中的应用 　如图1­3­2，某公园内有一块边长为2的等边△ABC的三角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两份，点D在AB上，点E在AC上．设AD＝x(x≥0)，DE＝y，求用x表示y的函数关系式． 图1­3­2 【精彩点拨】　由S△ADE＝S△ABC得出AE，再在△ADE中由余弦定理求DE. 【自主解答】　∵AB＝BC＝AC＝2，∴S△ABC＝，×2×2sin 60°＝ ∴S△ADE＝.S△ABC＝ 又S△ADE＝x·AE，AD·AEsin 60°＝ 由.，得AE＝x·AE＝ 在△ADE中，由余弦定理得 y2＝x2＋·cos 60°－2·x· ＝x2＋－2， ∴y＝. 又由AE<2可知<2，即x>1， ∴1<x<2. ∴y关于x的函数为： y＝(1<x<2)． 1．求解此类问题的关键是利用正、余弦定理建模，求解时，要分清已知哪些条件，如何把待求和已知化归到同一个三角形中． 2．函数建模时，要注意函数的定义域，如本题(2)中隐含“AE＝∈(0,2)”． [再练一题] 2.如图1­3­3所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，△BCD是正三角形． 图1­3­3 (1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数； (2)求S的最大值及此时θ角的值． 【解】　(1)△ABD的面积S1＝BD2.sin θ，由于△BCD是正三角形，则△BCD的面积S2＝×1×1×sin θ＝ 在△ABD中，由余弦定理可知BD2＝12＋12－2×1×1×cos θ＝2－2cos θ， 于是四边形ABCD的面积S＝(2－2cos θ)，sin θ＋ ∴S＝，0<θ<π.＋sin (2)由S＝及0<θ<π，＋sin 得－，<<θ－ 当θ－.时，S取得最大值1＋，即θ＝＝ [探究共研型] 正、余弦定理在测量学中的应用 探究1　如图1­3­4，A，B两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？ 图1­3­4 【提示】　在河岸这边选取点C，D，测得CD＝a，∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，则在△ACB和△ACD中应用正弦定理可求AC，BC的长，进而在△ACB中应用余弦定理求AB. 探究2　如图1­3­5，如何测量山顶塔AB的高？(测量者的身高忽略不记) 图1­3­5 【提示】　测量者在山下先选择一基点P，测出此时山顶的仰角α，前进